並查集

一、關於並查集

1. 定義

並查集(Disjoint-Set)是一種可以動態維護若干個不重疊的集合，並支援合併與查詢兩種操作的一種資料結構。

2. 基本操作

1. 合併(Union/Merge)：合併兩個集合。
2. 查詢(Find/Get)：查詢元素所屬集合。
實際操作時，我們會使用一個點來代表整個集合，即一個元素的根結點(可以理解為父親)。

3. 具體實現

我們建立一個數組fa[ ]或pre[ ]表示一個並查集，fa[i]表示i的父節點。
初始化：每一個點都是一個集合，因此自己的父節點就是自己fa[i]=i
查詢：每一個節點不斷尋找自己的父節點，若此時自己的父節點就是自己，那麼該點為集合的根結點，返回該點。

路徑壓縮：
實際上，我們在查詢過程中只關心根結點是什麼，並不關心這棵樹的形態(有一些題除外)。因此我們可以在查詢操作的時候將訪問過的每個點都指向樹根，這樣的方法叫做路徑壓縮，單次操作複雜度為O(logN)O(logN)。
結合下圖食用更好(圖為狀態壓縮的過程)：

二、程式碼實現

初始化的模板：

for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=i;

查詢的模板(含路徑壓縮)：

int Find(int x){
    if(x==pre[x]) return
 
 x;
    return pre[x]=Find(pre[x]);
}

合併的模板：

void merge(int x,int y){
    int fx=Find(x),fy=Find(y);
    if(fx!=fy) pre[fx]=fy;
}
//主函式內
merge(a,b);