Description

Farmer John 的 $N$頭奶牛（$1 \leq N \leq 10^5$）排成一列，正在進行一場抗議活動。第 $i$頭奶牛的理智度為 $a_i$​（$-10^4 \leq a_i \leq 10^4$）。

FJ 希望奶牛在抗議時保持理性，為此，他打算將所有的奶牛隔離成若干個小組，每個小組內的奶牛的理智度總和都要不小於零。

由於奶牛是按直線排列的，所以一個小組內的奶牛位置必須是連續的。請幫助 FJ 計算一下，滿足條件的分組方案有多少種。

Solution

對於$n^2$做法，有轉移方程

$$dp_i=\sum dp_j, \sum_{k=j+1}^i a_k \geq 0$$

即

$$dp_i=\sum dp_j, sum_i-sum_j \geq 0$$

考慮優化

對於上面的轉移方程，$i$能從$j$轉移來當且僅當

• $j < i$
• $sum_j \leq sum_i$

可以用樹狀陣列做二維偏序

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
long long n,sum[100005],tot,bit[100005],ans,a[100005];
const long long mod=1e9+9
 
;
map<long long,long long>mp;
inline long long read()
{
    long long f=1,w=0;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0';
        ch
 
=getchar();
    }
    return f*w;
}
long long lowbit(long long x)
{
    return x&-x;
}
long long add(long long p,long long v)
{
    while(p<=n)
    {
        bit[p]+=v;
        p+=lowbit(p);
    }
}
long long query(long long p)
{
    long long ret=0;
    while(p)
    {
        ret+=bit[p];
        p-=lowbit(p);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    n=read();
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=sum[i]=sum[i-1]+read();
    }
    sort(sum,sum+n+1);
    tot=unique(sum,sum+n+1)-sum-1;
    for(long long i=0;i<=tot;i++)
    {
        mp[sum[i]]=i+1;
    }
    add(mp[0],1);
    for(long long i=1;i<n;i++)
    {
        ans=query(mp[a[i]])%mod;
        add(mp[a[i]],ans);
    }
    printf("%lld\n",query(mp[a[n]])%mod);
    return 0;
}