比賽連結：https://atcoder.jp/contests/abc178/tasks

A - not

題意

給出一個整數 $0 \le x \le 1$，如果 $x$ 是 $0$ 就輸出 $1$，如果 $x$ 是 $1$ 就輸出 $0$ 。

題解

輸出 $x \oplus 1$ 或 $!x$ 均可。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int x;
    cin >> x;
    cout 
 
<< (x ^ 1)<< "\n";
    return 0;
}

B - Product Max

題意

給出 $a,b,c,d$，問 $x \times y$ 的最大值。（$-10^9 \leq a \leq x \leq b \leq 10^9$，$-10^9 \leq c \leq y \leq d \leq 10^9$）

題解

相似題目：CF1406B，列舉四個端點之積即可。

簡單解釋一下：

• 當 $x,y$ 均為正數或正端點之積較大，此時答案為 $b \times d$
• 當 $x,y$ 均為負數或負端點之積較大，此時答案為 $a \times c$
• 當 $x,y$ 一方為正數一方為負數，此時答案為 $a \times d$ 或 $b \times c$

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    long long a, b, c, d;
    cin >> a >> b >> c >> d;
    cout << max({a * c, a * d, b * c, b * d}) << "\n";
    return 0;
}

C - Ubiquity

題意

找出滿足以下條件的長為 $n$ 的不同序列的個數：

• $0 \le a_i \le 9$
• 序列中至少有一個 $a_i = 0$
• 序列中至少有一個$a_i = 9$

答案對 $10^9+7$ 取模。

題解

總的序列個數為 $10^n$，

不含 $0$ 的序列個數為 $9^n$，

不含 $9$ 的序列個數為 $9^n$，

不含 $0$ 和 $9$ 的序列個數為 $8^n$，

根據容斥原理，答案即 $10^n - 2 \times 9^n + 8 ^ n$ 。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;

int binpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = 1LL * res * a % MOD;
        a = 1LL * a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    cout << (0LL + binpow(10, n) - 2 * binpow(9, n) + binpow(8, n) + 2 * MOD) % MOD << "\n";
    return 0;
}

D - Redistribution

題意

給出一個正整數 $s$，問有多少序列滿足 $a_i \ge 3$，且序列和為 $s$，答案對 $10^9+7$ 取模。

題解一

設 $dp_i$ 為序列和為 $i$ 的序列個數。

初始時只有序列為空這一種情況，即 $dp_0 = 1$，之後每次向序列中新增大於等於 $3$ 的元素，最終答案即 $dp_s$ 。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int MOD = 1e9 + 7;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int s;
    cin >> s;
    vector<int> dp(2020);
    dp[0] = 1;
    for (int i = 0; i <= s; i++) {
        for (int j = 3; i + j <= s; j++) {
            (dp[i + j] += dp[i]) %= MOD;
        }
    }
    cout << dp[s] << "\n";
    return 0;
}

題解二

已知序列和為 $s$ ，列舉序列的長度 $i$ 。

因為每個元素都大於等於 $3$，假設每個元素都為 $3$ ，可以將多出來的 $ s-3*i$ 個 $1$，看作 $n$ 個相同的小球放入 $m=i$ 個可為空的相同的盒子中。

此時即轉化為組合數學十二路問題中的 $ULA$ 問題，答案即 $\sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{s}{3} \rfloor}C_{n+m - 1}^{m - 1}$ 。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int N = 1e6 + 100;
constexpr int MOD = 1e9 + 7;

int fac[N], inv[N];

int binpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = 1LL * res * a % MOD;
        a = 1LL * a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int C(int n, int m){
    if(m < 0 or m > n) return 0;
    return 1LL * fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}

void Init(){
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % MOD;
    inv[N - 1] = binpow(fac[N - 1], MOD - 2);
    for (int i = N - 2; i >= 0; i--) inv[i] = 1LL * inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    Init();
    int s; 
    cin >> s;
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= s / 3; i++) {
        (ans += C(s - 3 * i + i - 1, i - 1)) %= MOD;
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

E - Dist Max

題意

在二維平面中給出 $n$ 個點，問兩點間的最遠曼哈頓距離。

題解

$(x_i,y_i), (x_j, y_j)$ 間的曼哈頓距離為 $|x_i-x_j| + |y_i-y_j|$ 。

假設 $x_i \ge x_j$，那麼兩點間的距離可能有兩種情況：

• $(x_i-x_j) + (y_i-y_j)$，移項得：$(x_i+y_i) - (x_j+ y_j)$
• $(x_i-x_j) + (y_j-y_i)$，移項得：$(x_i-y_i) - (x_j- y_j)$

所以對於每個點的座標 $(x,y)$，分別用兩個陣列儲存 $x+y$ 和 $x-y$，然後取兩個陣列較大的最值差即可。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n), b(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        a[i] = x + y;
        b[i] = x - y;
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    sort(b.begin(), b.end());
    cout << max(a.back() - a.front(), b.back() - b.front()) << "\n";
    return 0;
}

F - Contrast

題意

給出兩個非遞減序列 $a$ 和 $b$，問能否重排 $b$ 使得 $a_i \ne b_i $ 。

題解

待填。