進行算法設計的時候，時常有這種體會：假設已經知道一道題目能夠用動態規劃求解，那麽非常easy找到對應的動態規劃算法並實現；動態規劃算法的難度不在於實現，而在於分析和設計—— 首先你得知道這道題目須要用動態規劃來求解。

本文，我們主要在分析動態規劃在算法分析設計和實現中的應用，解說動態規劃的原理、設計和實現。在非常多情況下，可能我們能直觀地想到動態規劃的算法。可是有些情況下動態規劃算法卻比較隱蔽。難以發現。

本文。主要為你解答這個最大的疑惑：什麽類型的問題能夠使用動態規劃算法？應該怎樣設計動態規劃算法？

一、緩存與動態規劃

分析：非常顯然，這道題的相應的數學表達式是F(n)=F(n-1) + F(n-2);當中F(1)=1, F(2)=2。

非常自然的狀況是，採用遞歸函數來求解：

int  solution(int n){
	if(n>0 && n<2) return n;
	return solution(n-1) + solution(n-2);
}

int dp[11];
int  solution(int n){
	if(n>0 && n<2) return n;
	if(dp[n]!=0) return dp[n];
	dp[n] = solution(n-1) + solution(n-2);
	return  dp[n];
}

int  solution(int n){
	int dp[n+1];
	dp[1]=1;dp[2]=2;
	for (i = 3; i <= n; ++i){
		dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2];
	}
	return  dp[n];
}

例二：01背包問題

有n個重量和價值分別為vector<int> weight, vector<int> value的物品；背包最大負重為W，求能用背包裝下的物品的最大價值？

採用窮舉法，必定須要可以舉出全部狀態，不重不漏；而怎樣窮舉，方法多種多樣,我們的任務是要窮舉有n個元素組成的全部子集。

而窮舉的方法主要有兩種—— 遞增式（舉出1～100之內的全部數字， 從1到100）；和分治式的窮舉（比如舉出n個元素的集合。包括兩種—— 含有元素a和不含元素a的）。於是，我們基於窮舉法得到背包問題的第一種算法—— 遞歸與分治。

int rec(int i, int j){//從i到n號物品，選擇重量不大於j的物品的最大價值
	int res;
	if(i==n){
		res=0;
	} 
	else if(j< w[i]){
		res = rec(i+1, j);
	}
	else{
		res = max(rec(i+1, j), rec(i+1, j-w[i])+v[i]);
	}
	return res;
}

調用res(0, W), 就可以得到結果. 時間復雜度O(2^n)；我們來分析一下遞歸調用的情況。

動態規劃分析總結——怎樣設計和實現動態規劃算法