http://hihocoder.com/problemset/problem/1489

筆試題第一道，雖然說第一道都很水，但是我感覺這題不算特別水把。。這道題我就卡住了我記得，tle，最後只有30分，比較慘烈。我個人感覺這道題正解比較難想把，那時候太年輕，沒有想到當item很大時，可以從第八道item開始就把初始p當成0來計算。。不過我試了一下，發現即使如此，還要計算每次的數學期望，反正我當時要是不知道，Ei和Ei+1之間的聯系，應該還是算不出來。。我太麻瓜了。。

貼一下我tle代碼，思路就是dfs這個概率樹。。非常完美可惜不行。

#include <iostream>
#include
 
<cstdio>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

double startp,q;
int n;
double getsum(int all,int num,double p,double sum)
{
    double left,right;
    if(num==n) return sum*all;
    if(p>=1)
    {
        right
 
=0;
        double nextp;
        if(num>=7) nextp=0;
        else nextp=startp/(1<<(num+1));
        left=getsum(all+1,num+1,nextp,sum);
    }
    else if(p==0)
    {
        left=0;
        right=getsum(all+1,num,q,sum);
    }
    else
    {
        right=getsum(all+1,num,p+q,sum*(1-p));
        
 
double nextp;
        if(num>=8) nextp=0;
        else nextp=startp/(1<<(num+1));
        left=getsum(all+1,num+1,nextp,sum*p);
    }
    return left +right;
}
int main()
{
    double res;
    scanf("%lf %lf %d",&startp,&q,&n);
    startp/=100;
    q/=100;
    res=getsum(0,0,startp,1);
    printf("%.2lf\n",res);
    return 0;
}

這題很關鍵的一點的就是，就是不同個數的期望是可以相加的。這個地方我一直很不明白，非常困惑，哇，要是我知道是這樣，就直接相加了啊，誰還寫dfs啊。。

http://www.mamicode.com/info-detail-1759090.html 這個我看了這個博主給的解釋：

其實我們發現圖中那兩個標號 1 的節點子樹是一樣的，它們獲取下一個物品的情況和期望都是一樣的。我本來在考慮不同情況下拿到第一個，開始拿第二個，第二個和第一個是不是獨立的？但是其實所有情況下拿到第一個的概率總和是1，所以無論 dfs 的哪一個分支，最後都會到同一個初始概率去獲取第二個，所以獲取第二個的期望與第一個是獨立可加的。

我比較愚鈍，還是不能非常理解。。相互獨立的話，可是題意中給的式子是

2*50%*25% + 3*50%*75%*100% + 3*50%*100%*25% + 4*50%*100%*75%*100% = 3.25

意思是每個都是和做掉的任務個數是相關的，並且是累加的。。就是完成了1件傳說後，已經完成了2個任務，然後下次就要從3開始算，並且概率還要相乘。。算的話看起來好像不是直接相加就好了。。當然博主說的很好也是對的。。只是我乍一看並不是非常理解。。

http://blog.csdn.net/sddyzjh/article/details/68950610 還有這個博主，

那麽期望的計算式可以寫成Ei=Σpk?lk,其中pk表示做了lk個任務後拿到i個獎勵的概率
用Pi表示?P2i?%
接著考慮Ei+1=Σp′k?l′k
=Pi+1?Σpk?(lk+1)
+(1?Pi+1)?(Pi+1+Q%)?Σpk?(lk+2)
+(1?Pi+1)?(1?Pi+1?Q%)?(Pi+1+2Q%)?Σpk?(lk+3)+...
直到Pi+1+kQ%超過1結束
於是用ci=Σpk
Ei+1=Σp′k?l′k
=Pi+1?(Ei+ci)
+(1?Pi+1)?(Pi+1+Q%)?(Ei+2ci)
+(1?Pi+1)?(1?Pi+1?Q%)?(Pi+1+2Q%)?(Ei+3ci)+...

直接用算的，求出Ei+1和Ei的關系，答案就很明顯了。看了式子之後，發覺寫的很好，很容易理解。應該可以根據這個規律直接code，博主給的代碼也蠻好理解的。

其實有一個很明顯的地方值得註意。其實我們可以發現Ei=Σpk?lk跟概率論的數學期望很相似啊。這道題其實就是讓我們求數學期望，我之前一直不知道在想什麽，把繞來繞去。。我們可以發現Ei是絕對收斂的呀。要是k無限大，就是完成的任務無限多的時候，概率是趨於1的呀講道理啊，就是完成任務無限多，不是肯定要完成傳說任務的。

數學期望其實就是一個加權平均意思，這道題中的意思就是當給定了n，即要完成n個傳說任務，加權平均一下，數學期望在這裏表示的就是要完成平均多少個任務才能完成n個傳說任務。數學期望在物理上就是一堆質點的重心，也就是加權平均。兩個鐵塊已知重心的話，把他們重疊起來，在坐標軸上新的重心不就是兩個重心的中點嘛，所以是可以直接相加的。

設C為一個常數，X和Y是兩個隨機變量。以下是數學期望的重要性質： 1.E（C）=C 2.E（CX）=CE（X） 3.E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4.當X和Y相互獨立時，E(XY)=E(X)E(Y) 性質3和性質4可以推到到任意有限個相互獨立的隨機變量之和或之積的情況。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e6+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
double ans=0;
double num[105] = {0};
int n,p,q;

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&p,&q,&n);
    for(int pre = 0 ; pre <= 100 ; ++ pre )
    {
        int cnt = 0;
        double p1 = 1;
        while(1)
        {
            double xq = ( pre + cnt * q) / 100.0;
            if( pre + cnt * q >= 100 )
            {
                num[pre] += ( cnt + 1 ) * p1 ;
                break;
            }
            num[pre] += p1 * xq * ( cnt + 1 );
            p1 *= ( 1 - xq );
            cnt++;
        }
    }

    int pre = p;
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i )
    {
        if( pre == 0 )
        {
            ans += ( n - i + 1 ) * num[0];
            break;
        }
        ans += num[pre];
        pre >>= 1;
    }

    printf("%.2lf\n",ans);
    return 0;
}

hihocoder1489 Legendary Items （微軟2017年預科生計劃在線編程筆試）