numpy linalg模塊
# 線性代數
# numpy.linalg模塊包含線性代數的函數。使用這個模塊,可以計算逆矩陣、求特征值、解線性方程組以及求解行列式等。
import numpy as np
# 1. 計算逆矩陣
# 創建矩陣
A = np.mat("0 1 2;1 0 3;4 -3 8")
print (A)
#[[ 0 1 2]
# [ 1 0 3]
# [ 4 -3 8]]
# 使用inv函數計算逆矩陣
inv = np.linalg.inv(A)
print (inv)
#[[-4.5 7. -1.5]
# [-2. 4. -1. ]
# [ 1.5 -2. 0.5]]
# 檢查原矩陣和求得的逆矩陣相乘的結果為單位矩陣
print (A * inv)
#[[ 1. 0. 0.]
# [ 0. 1. 0.]
# [ 0. 0. 1.]]
# 註:矩陣必須是方陣且可逆,否則會拋出LinAlgError異常。
# 2. 求解線性方程組
# numpy.linalg中的函數solve可以求解形如 Ax = b 的線性方程組,其中 A 為矩陣,b 為一維或二維的數組,x 是未知變量
import numpy as np
#創建矩陣和數組
B = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
b = np.array([0,8,-9])
# 調用solve函數求解線性方程
x = np.linalg.solve(B,b)
print (x)
#[ 29. 16. 3.]
# 使用dot函數檢查求得的解是否正確
print (np.dot(B , x))
# [[ 0. 8. -9.]]
# 3. 特征值和特征向量
# 特征值(eigenvalue)即方程 Ax = ax 的根,是一個標量。其中,A 是一個二維矩陣,x 是一個一維向量。特征向量(eigenvector)是關於特征值的向量
# numpy.linalg模塊中,eigvals函數可以計算矩陣的特征值,而eig函數可以返回一個包含特征值和對應的特征向量的元組
import numpy as np
# 創建一個矩陣
C = np.mat("3 -2;1 0")
# 調用eigvals函數求解特征值
c0 = np.linalg.eigvals(C)
print (c0)
# [ 2. 1.]
# 使用eig函數求解特征值和特征向量 (該函數將返回一個元組,按列排放著特征值和對應的特征向量,其中第一列為特征值,第二列為特征向量)
c1,c2 = np.linalg.eig(C)
print (c1)
# [ 2. 1.]
print (c2)
#[[ 0.89442719 0.70710678]
# [ 0.4472136 0.70710678]]
# 使用dot函數驗證求得的解是否正確
for i in range(len(c1)):
print ("left:",np.dot(C,c2[:,i]))
print ("right:",c1[i] * c2[:,i])
#left: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#right: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#left: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
#right: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
# 4.奇異值分解
# SVD(Singular Value Decomposition,奇異值分解)是一種因子分解運算,將一個矩陣分解為3個矩陣的乘積
# numpy.linalg模塊中的svd函數可以對矩陣進行奇異值分解。該函數返回3個矩陣——U、Sigma和V,其中U和V是正交矩陣,Sigma包含輸入矩陣的奇異值。
import numpy as np
# 分解矩陣
D = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用svd函數分解矩陣
U,Sigma,V = np.linalg.svd(D,full_matrices=False)
print ("U:",U)
#U: [[-0.9486833 -0.31622777]
# [-0.31622777 0.9486833 ]]
print ("Sigma:",Sigma)
#Sigma: [ 18.97366596 9.48683298]
print ("V",V)
#V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
# 結果包含等式中左右兩端的兩個正交矩陣U和V,以及中間的奇異值矩陣Sigma
# 使用diag函數生成完整的奇異值矩陣。將分解出的3個矩陣相乘
print (U * np.diag(Sigma) * V)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]
# 5. 廣義逆矩陣
# 使用numpy.linalg模塊中的pinv函數進行求解,
# 註:inv函數只接受方陣作為輸入矩陣,而pinv函數則沒有這個限制
import numpy as np
# 創建一個矩陣
E = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用pinv函數計算廣義逆矩陣
pseudoinv = np.linalg.pinv(E)
print (pseudoinv)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]
# 將原矩陣和得到的廣義逆矩陣相乘
print (E * pseudoinv)
#[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16]
# [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]
# 6. 行列式
# numpy.linalg模塊中的det函數可以計算矩陣的行列式
import numpy as np
# 計算矩陣的行列式
F = np.mat("3 4;5 6")
# 使用det函數計算行列式
print (np.linalg.det(F))
# -2.0
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