# 線性代數
# numpy.linalg模塊包含線性代數的函數。使用這個模塊，可以計算逆矩陣、求特征值、解線性方程組以及求解行列式等。

import numpy as np

# 1. 計算逆矩陣
# 創建矩陣
A = np.mat("0 1 2;1 0 3;4 -3 8")
print (A)
#[[ 0 1 2]
# [ 1 0 3]
# [ 4 -3 8]]

# 使用inv函數計算逆矩陣
inv = np.linalg.inv(A)
print (inv)
#[[-4.5 7. -1.5]
# [-2. 4. -1. ]
# [ 1.5 -2. 0.5]]

# 檢查原矩陣和求得的逆矩陣相乘的結果為單位矩陣
print (A * inv)
#[[ 1. 0. 0.]
# [ 0. 1. 0.]
# [ 0. 0. 1.]]

# 註：矩陣必須是方陣且可逆，否則會拋出LinAlgError異常。

# 2. 求解線性方程組
# numpy.linalg中的函數solve可以求解形如 Ax = b 的線性方程組，其中 A 為矩陣，b 為一維或二維的數組，x 是未知變量

import numpy as np

#創建矩陣和數組
B = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
b = np.array([0,8,-9])

# 調用solve函數求解線性方程
x = np.linalg.solve(B,b)
print (x)
#[ 29. 16. 3.]

# 使用dot函數檢查求得的解是否正確
print (np.dot(B , x))
# [[ 0. 8. -9.]]

# 3. 特征值和特征向量
# 特征值（eigenvalue）即方程 Ax = ax 的根，是一個標量。其中，A 是一個二維矩陣，x 是一個一維向量。特征向量（eigenvector）是關於特征值的向量
# numpy.linalg模塊中，eigvals函數可以計算矩陣的特征值，而eig函數可以返回一個包含特征值和對應的特征向量的元組

import numpy as np

# 創建一個矩陣
C = np.mat("3 -2;1 0")

# 調用eigvals函數求解特征值
c0 = np.linalg.eigvals(C)
print (c0)
# [ 2. 1.]

# 使用eig函數求解特征值和特征向量 (該函數將返回一個元組，按列排放著特征值和對應的特征向量，其中第一列為特征值，第二列為特征向量)
c1,c2 = np.linalg.eig(C)
print (c1)
# [ 2. 1.]
print (c2)
#[[ 0.89442719 0.70710678]
# [ 0.4472136 0.70710678]]

# 使用dot函數驗證求得的解是否正確
for i in range(len(c1)):
print ("left:",np.dot(C,c2[:,i]))
print ("right:",c1[i] * c2[:,i])
#left: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#right: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#left: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
#right: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]

# 4.奇異值分解
# SVD（Singular Value Decomposition，奇異值分解）是一種因子分解運算，將一個矩陣分解為3個矩陣的乘積
# numpy.linalg模塊中的svd函數可以對矩陣進行奇異值分解。該函數返回3個矩陣——U、Sigma和V，其中U和V是正交矩陣，Sigma包含輸入矩陣的奇異值。

import numpy as np

# 分解矩陣
D = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用svd函數分解矩陣
U,Sigma,V = np.linalg.svd(D,full_matrices=False)
print ("U:",U)
#U: [[-0.9486833 -0.31622777]
# [-0.31622777 0.9486833 ]]
print ("Sigma:",Sigma)
#Sigma: [ 18.97366596 9.48683298]
print ("V",V)
#V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
# 結果包含等式中左右兩端的兩個正交矩陣U和V，以及中間的奇異值矩陣Sigma

# 使用diag函數生成完整的奇異值矩陣。將分解出的3個矩陣相乘
print (U * np.diag(Sigma) * V)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]

# 5. 廣義逆矩陣
# 使用numpy.linalg模塊中的pinv函數進行求解,
# 註：inv函數只接受方陣作為輸入矩陣，而pinv函數則沒有這個限制

import numpy as np

# 創建一個矩陣
E = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用pinv函數計算廣義逆矩陣
pseudoinv = np.linalg.pinv(E)
print (pseudoinv)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]

# 將原矩陣和得到的廣義逆矩陣相乘
print (E * pseudoinv)
#[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16]
# [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]

# 6. 行列式
# numpy.linalg模塊中的det函數可以計算矩陣的行列式

import numpy as np

# 計算矩陣的行列式
F = np.mat("3 4;5 6")
# 使用det函數計算行列式
print (np.linalg.det(F))
# -2.0

numpy linalg模塊