引言：寫這篇文章的初衷只是想做個筆記，因為這道題代碼量有點大，有點抽象，而書上並沒有詳細的註釋。為了加深印象和便於下次復習，做個記錄。

原題：把n個骰子扔到地上，所有骰子朝上一面的點數之後為s. 輸入n，打印出s所有可能的值出現的概率。（每個骰子6個面，點數從1到6）

解法一：基於遞歸，時間效率不高

遞歸的思想一般是分而治之，把n個骰子分為第一個和剩下的n-1個。先計算第一個骰子每個點數出現的次數，再計算剩余n-1個骰子出現的點數之和。求n-1個骰子的點數之的方法和前面講的一樣，即再次把n-1個骰子分成兩堆------第一個和剩下的n-2個。n個骰子，每個骰子6個面，總共有6ⁿ個組合。這6ⁿ個組合之中肯定有重復的，我們知道其範圍是n~6n,對於每種情況我們可以用緩存機制記錄下來，每當其發生一次我們令其對應的單元加1。

我們定義一個長度為6n-n+1的數組，和為s的點數出現的次數保存到數組第s-n個元素裏。為什麽是6n-n+1呢？因為n個骰子的和最少是n，最大是6n，介於這兩者之間的每一個情況都可能會發生，總共6n-n+1種情況。下面是java源碼：

 1     private static final int g_maxValue = 6;
 2     //基於遞歸求骰子點數，時間效率不高
 3     public static void PrintProbability(int number){
 4         if(number<1) return;
 5         int maxSum = number*g_maxValue;
 
 6         int[] pProbabilities = new int[maxSum-number+1];
 7         //初始化，開始統計之前都為0次
 8         for(int i=number;i<=maxSum;i++){
 9             pProbabilities[i-number] = 0;
10         }
11         double total = Math.pow(g_maxValue,number);
12         //probability(number,pProbabilities);這個函數計算n~6n每種情況出現的次數
 

13         probability(number,pProbabilities);
14         for(int i=number;i<=maxSum;i++){
15             double ratio = pProbabilities[i-number]/total;
16             System.out.println("i: "+i+" ratio: "+ratio);
17         }
18     }
19     public static void probability(int number,int[] pProbabilities){
20         for(int i=1;i<=g_maxValue;i++){//從第一個骰子開始
21             probability(number,number,i,pProbabilities);
22         }
23     }
24     //總共original個骰子，當前第 current個骰子，當前的和，貫穿始終的數組
25     public static void probability(int original,int current,int sum,int[] pProbabilities){
26         if(current==1){
27             pProbabilities[sum-original]++;
28         }else{
29             for(int i=1;i<=g_maxValue;i++){
30                 probability(original,current-1,sum+i,pProbabilities);
31             }
32         }
33     }

這種方法思路非常簡潔，但是遞歸實現會存在子問題重復求解的情況發生，所以當number很大的時候，其性能會慢的讓人不能接受。

解法二：基於循環，時間性能好

遞歸一般是自頂向下的分析求解，而基於循環的方法則是自底向上。基於循環的一般需要更少的空間和更少的時間，性能較好，但是一般代碼比較難懂。

書上的講解比較簡單，代碼沒有註釋，這裏本人用java實現了書本上的方法，註釋比較詳細。

 1  //基於循環求骰子點數
 2     public static void PrintProbability_1(int number){
 3         if(number<1){
 4             return;
 5         }
 6         int[][] pProbabilities = new int[2][g_maxValue*number +1];
 7         for(int i=0;i<g_maxValue;i++){//初始化數組
 8              pProbabilities[0][i] = 0;
 9              pProbabilities[1][i] = 0;
10         }
11         int flag = 0;
12         for(int i=1;i<=g_maxValue;i++){//當第一次拋擲骰子時，有6種可能，每種可能出現一次
13             pProbabilities[flag][i] = 1;
14         }
15         //從第二次開始擲骰子，假設第一個數組中的第n個數字表示骰子和為n出現的次數，
16         //在下一循環中，我們加上一個新骰子，此時和為n的骰子出現次數應該等於上一次循環中骰子點數和為n-1,n-2,n-3,n-4,n-5，
17         //n-6的次數總和，所以我們把另一個數組的第n個數字設為前一個數組對應的n-1,n-2,n-3,n-4,n-5，n-6之和
18         for(int k =2;k<=number;k++){
19             for(int i=0;i<k;i++){//第k次擲骰子，和最小為k，小於k的情況是不可能發生的！所以另不可能發生的次數設置為0！
20                 pProbabilities[1-flag][i] = 0;
21             }
22             for(int i=k;i<=g_maxValue*k;i++){//第k次擲骰子，和最小為k，最大為g_maxValue*k
23                 pProbabilities[1-flag][i] = 0;//初始化，因為這個數組要重復使用，上一次的值要清0
24                 for(int j=1;j<=i&&j<=g_maxValue;j++){
25                     pProbabilities[1-flag][i] += pProbabilities[flag][i-j];
26                 }
27             }
28             flag = 1-flag;
29         }
30         double total = Math.pow(g_maxValue, number);
31         for(int i=number;i<=g_maxValue*number;i++){
32             double ratio = pProbabilities[flag][i]/total;
33             System.out.println("sum: "+i+" ratio: "+ratio);
34         }
35     }

運行結果：

sum: 6 ratio: 2.143347050754458E-5
sum: 7 ratio: 1.286008230452675E-4
sum: 8 ratio: 4.501028806584362E-4
sum: 9 ratio: 0.0012002743484224967
sum: 10 ratio: 0.002700617283950617
sum: 11 ratio: 0.005401234567901234
sum: 12 ratio: 0.00977366255144033
sum: 13 ratio: 0.016203703703703703
sum: 14 ratio: 0.02488425925925926
sum: 15 ratio: 0.03570816186556927
sum: 16 ratio: 0.048161008230452676
sum: 17 ratio: 0.061213991769547324
sum: 18 ratio: 0.07353823731138547
sum: 19 ratio: 0.08371913580246913
sum: 20 ratio: 0.09047067901234568
sum: 21 ratio: 0.09284979423868313
sum: 22 ratio: 0.09047067901234568
sum: 23 ratio: 0.08371913580246913
sum: 24 ratio: 0.07353823731138547
sum: 25 ratio: 0.061213991769547324
sum: 26 ratio: 0.048161008230452676
sum: 27 ratio: 0.03570816186556927
sum: 28 ratio: 0.02488425925925926
sum: 29 ratio: 0.016203703703703703
sum: 30 ratio: 0.00977366255144033
sum: 31 ratio: 0.005401234567901234
sum: 32 ratio: 0.002700617283950617
sum: 33 ratio: 0.0012002743484224967
sum: 34 ratio: 4.501028806584362E-4
sum: 35 ratio: 1.286008230452675E-4
sum: 36 ratio: 2.143347050754458E-5

《劍指offer》 面試題43 n個骰子的點數 （java）