微積分復習——外微分形式的微積分
註釋:
1、本文欲使用外微分形式對面向工科的微積分作一次簡單的整理復習。
2、相關的思維導圖畫出來有點亂且無法凸顯個人比較care的推導過程,故不貼上來。
3、本文僅涉及微積分!不含級數和微分方程等。
4、個人是非數學出身不需要嗑太深,所以通篇外微分討論不嚴格。
5、本文還有一個意圖就是解釋外微分。
在我們所討論的三度空間(三維)中,能夠出現的微分形式只有四種:
零次微分形式——函數 f
一次微分形式——線積分中出現的微分dx,dy,dz的一次式
二次微分形式——面積分中出現的微分dx,dy,dz的二次式
三次微分形式——體積分中出現的微分dx,dy,dz的三次式
註意:以上微分形式中至少有兩個相同的dx,dy,dz項,每一個形式中只包含具有不同的dx,dy,dz的項。
我們還知道聯系這些線、面、體積分的三個基本公式:
Green公式:
其中D為L圍成的閉區域,P、Q為D上的具有一階連續偏微商的函數。
Gauss公式:
其中V為封閉曲面∑圍成的閉區域,函數P、Q、R為V上有一階連續偏微商的函數。
Stokes公式:
其中封閉曲線L為曲面∑的邊界,P、Q、R為V上有一階連續偏微商的函數。
那麽上述三個公式之間有什麽聯系?
這就是本文所要關註的。
我們也很容易聯想到上述三個公式的更一般形式的物理意義,即場論中的三個度——梯度、旋度、散度
設 u 為數量場,v = Pi + Qj + Rk 為矢量場。
梯度:
旋度:
散度:
這些度都是怎樣產生的?有何數學意義?
這也是本文所要關註的。
單變量微積分有Newton-Leibniz公式,即微分與積分是一對對立統一的運算
多變量微積分中微分、積分的對立統一是怎樣體現的?
這又是本文所要關註的。
懷著這三種疑惑,我們開始觀察這些積分。
容易發現,
第二型線、面積分的積分區域都是有方向的。
然後容易想到可以把一重積分、二重積分看作第二型線、面積分的特例:積分區域也有方向。
三重積分同理也可定向。
所以,曲線長度因方向不同被定義成正負,亦如單變量微積分中的這個性質。
關於曲面,
定向是分為內外側(看課本定義,即法線從起點連續移動直到回到起點,根據法線方向是否改變來為曲面定向)
(不可定向的曲面典型就是著名的莫比烏斯帶。)
來張圖吧
莫比烏斯帶——不可定向
那麽我們在這裏只能討論可定向的曲面咯。
所以,曲面面積在面積元素定向後因方向不同被被定義成正負。
根據二重積分定義,再將面積元素進行變元變換(看課本定義,不詳細寫)
當時是為了保持面積元素始終為正,而對式中Jacobi行列式取了絕對值。
但是現在,面積元素被允許有正負了,就沒必要取絕對值了,就變成了這樣
其中D已定向,D’是D經過變元逆變換得到的區域,自然是定向了的。
所以,
觀察此式的性質
(i)如果取y = x,則有
(ii)如果將y,x互換,則有
此時,dydx≠dxdy,即dx,dy在乘積中次序不能顛倒,否則就是正負的差別。
滿足上述兩條的微分乘積被稱為微分的外乘積,記為
即 和 第二條和普通的微分乘積不同。
外微分形式:
由微分的外乘積乘函數組成的微分形式:
若P、Q、R、A、B、C、H為x,y,z的函數,
一次外微分形式:
二次外微分形式:
三次外微分形式:
接下來易證得三個外微分形式λ,μ,ν的外乘積滿足分配律、結合律,但不滿足交換律。(證明比較簡單但編輯起來略繁就不貼了):
如果λ,μ,ν是任意三個外微分形式
分配律:
交換律:
不滿足結合律:
若μ為p次外微分形式,λ為q次外微分形式
這些定律用於後期推廣證明。
容易聯想到
外微分可類比為:矢量外乘積
為了便於推廣,我們可根據形式定義算子。
因此我們根據外微分形式ω定義外微分算子d,
零次外微分形式 函數 f 定義為
,其實這裏就是普通的全微分算子
一次外微分形式 ,定義為
由於
所以
由於
所以
二次外微分形式 ,定義為
同理易得
三次外微分形式 ,定義為
同理,由於
所以
為什麽等於零?因為每一項中至少有兩個微分是相同的
所以,在三維空間中任意的三次外微分形式的外微分是零
外微分算子和普通微分算子運算方式相同,唯一的不同就是外微分算子運算後進行外乘積,而普通微分算子運算後進行正常的乘積。
於是我們得到了零次、一次、二次、三次外微分算子。
接下來,
設零次外微分形式ω=f,
就有
然後
由於
所以
假設f具有二階連續偏微商,則有
所以
一次外微分形式
於是
二次外微分形式
易得
三次外微分形式
易得
這就是Poincaré引理:
若ω為一個外微分形式,其微分形式的系數具有二階連續偏微商,則。
那麽Poincaré引理的逆定理是否成立呢?成立。
先闡述Poincaré引理之逆:
若ω是一個p次外微分式且,則存在一個p-1次外微分形式 a,使。
其實我們學習場論中的有勢場、管型場時已經證明過了。
這裏具體不貼了。
引入外微分後,接下來回到之前的疑惑之一——場論中的三個度究竟是什麽含義,還有沒更多的度?
先將三個度化成外微分形式,觀察其意義。
零次外微分形式 ω = f, 零次外微分形式的外微分
又 f 的梯度為
所以梯度與零次外微分形式的外微分相對應。
一次外微分形式的外微分
又矢量 的旋度為
所以旋度與一次外微分形式的外微分相對應。
二次外微分形式的外微分
又矢量的散度
所以散度與二次外微分形式的外微分相對應。
三次外微分形式的外微分在三維空間中為零。
所以沒有相對應的度。
三維空間裏,也沒有更多的度了。
綜上,就是如下
外微分形式的次數 度
0 梯度
1 旋度
2 散度
那麽,Poincaré引理與Poincaré引理之逆也有其場論意義了:
易得
Poincaré引理中
當ω為零次外微分形式ω = f,有
即
當ω為一次外微分形式,記,有
即
Poincaré引理之逆中
等價於
即必有
等價於
即必有
回到剩下兩個疑惑——三個公式與高維空間中微分積分的關系
現將三個公式寫成外微分形式。
Green公式
記,為一次外微分形式,於是
又線積分L可定向,所以該公式可寫成
同理,Gauss公式
又Σ定向,所以記
該公式可寫成
同理Stokes公式
又線、面積分都為定向,將看作一次外微分形式
所以該公式可寫成
綜上,可以看出,Green公式、Gauss公式、Stokes公式實際上是一個公式
其中ω為外微分形式,dω為ω的外微分,Σ為dω的封閉積分區域,?Σ為Σ的邊界,∫為區域有多少維數即多少重數。
含義:
高次的外微分形式dω在區域上的積分等於低一次的外微分形式ω在區域的低一維空間邊界上的積分。
外微分運算和積分是相互抵消的,亦如一維空間中Newton-Leibniz公式。
由於三維空間中三次外微分形式的外微分為零,所以有了這個公式以後,區分區域和邊界的公式就不再有了。
這個公式就是廣義的Stokes公式
再寫一遍
這個公式還可以推廣到更一般的流形上(這個未來再說)
綜上,在三維空間中,
外微分形式的次數 空間 公式
0 直線段 Newton-Leibniz公式
1 平面區域 Green公式
1 空間曲面 Stokes公式
2 空間中區域 Gauss公式
完結。
寫此文的動機是因為微積分運用太廣泛了(比如算法)(在計算機領域中雖然沒有代數學和概率論那麽廣),(但還是需要)需要好好梳理筆記復習一下。
信仰之日常:感謝勤奮智慧的數學研究者前赴後繼地創造和完善數學(這裏是微積分) ,讓我們在解決問題時有了新的有效途徑。
鞠躬!orzzzzz
微積分復習——外微分形式的微積分