一個 一點 幾何 沒有 講解 白皮書 線性 重要 體會

我第一次接觸白皮書是和高中同學鐘梓源（復旦數學學院 16 級）的交流當中發現的，記得是上半期開學之後，鐘梓源給我發了幾張他們高等代數“練習冊”的照片，還記得是矩陣的 Kronecker 積和攝動法之類的，當時大為驚訝，我雖然對這些東西有所耳聞，但均來源於雜亂無章的各種資料。照片上的幾道題均有十足的難度，我當下決定買一本，便開始閱讀了起來。現在已經過去大半年，高等代數已經學完了最後一章的內容，白皮書也陪伴我度過了一個半學期。現在，我大概把白皮書上的題目全部做了一遍，不得不驚嘆於白皮書乃一本“葵花寶典”。 一、大量的補充知識 白皮書中擁有許多補充知識，很多內容都讓我大開眼界。比如

• 攝動法，攝動法是一種十分有用且巧妙的方法，在一些書上也有所提及，但沒有專門的講解。白皮書上對於攝動法給了具體的說明，讓我又對攝動法有新的體會。
• 矩陣的 Kronecker 積，矩陣的 Kronecker 積即兩個線性變換張量積的矩陣表示，有些書也提到過。白皮書對此進行了系統的整理，並在特征值部分對矩陣 Kronecker 積進行補充。
• 結式與判別式一節有大量關於判別式、結式的公式。
• 一般域上的 Jordan 標準型，即廣義 Jordan 標準型內容也十分經典。對於非代數閉域（有域上 2 次及以上的不可約多項式），矩陣相似標準型是一個很重要的問題，但由於比較復雜，很難見到如此細致的整理。
• Legendre 多項式。
• 矩陣的 Moore-Penrose 廣義逆以及線性方程組解的逼近。

另外，書中還隱藏著一些內容銜接的信息，比如域擴張次數的公式等。 二、代數方法和幾何方法並用 對於高等代數問題，有兩種不同的風格，即代數方法和幾何方法。代數方法直接從矩陣入手，把一切問題都轉化成矩陣的問題，然後利用矩陣的技巧進行運算；而另一方面，也可以將矩陣的問題轉化為線性空間以及線性變換的問題。而白皮書把兩種方法均做到了極致。 在代數方面，常常看到利用分塊矩陣談笑風生，利用秩不等式扭轉乾坤，出其不意，用巧妙的矩陣運算化解復雜問題，比如例 2.61，例 3.60，例 4.53，例 6.45 等等。有些時候，矩陣的做法難以想到或技巧性較強，又有對應的幾何做法來化解，通過構造線性空間，考慮其線性變換及其不變子空間，又有另一片天地。白皮書中利用幾何方法推導冪零矩陣的 Jordan 標準型是我以前從來未見到過的，相對於高深的有限生成模分解，這種接地氣的幾何證明的確十分巧妙。另外，有關正規算子部分，也利用幾何方法推導出其性質，相比於算矩陣來說，更加貼近本質。

三、題目新穎 相比於其他書而言，白皮書更像是一本“高等代數習題集”而不是“高等代數陳題集”，上面有很多問題我自己在其他國內外的書上均沒有見過，並且難度十足。令我印象最深的就是“跡為0為換位子”，即若 $n$ 階矩陣 $C$ 滿足$ \mathrm{tr}(C)=0$ ，則存在矩陣 $A$ 和 $B$ ，使得 $C=AB-BA$，這道題目在我們上半學期上課的時候，有同學提出但同學和老師均未給出解答，就此擱置。這學期的時候，老師給我們發了一篇英文論文，證明的就是這個問題。但閱讀白皮書時才發現這道題已經在白皮書上出現了！利用有理標準型也可以給出一個相當簡潔的證明。不得不驚嘆於白皮書的博大精深。 四、前後聯系緊密 對於我自己而言，數學的一大魅力，在於用新的數學理論解決以前無法解決的問題。在看書的時候，書前面拋出問題，而在後面用新的觀點看它，實乃一大樂事。這樣就能體會到數學的統一性，讓人明白，創造理論就是為了解決問題。而白皮書，正好做到了這一點，前後聯系是非常緊密的。下面舉一些例子來說明。

• 例 1.16 給出了 Cauchy 行列式的計算，在例 8.27 在判斷矩陣 $a_{ij} = \dfrac {1}{i+j}$ 正定時，正好用上。
• 例 2.19 給出了 $B^{-1}-A^{-1}$ 的計算公式，後面才發現這是為了證明，若 $A>B>0$ 則 $B^{-1}>A^{-1}$ 。
• 第 8 章從矩陣角度給出了 Cholesky 分解，第 9 章又從內積空間的角度重新提及。

高等代數葵花寶典—白皮書