洛谷P1450 [HAOI2008]硬幣購物

動態規劃 + 容斥原理

1、首先我們去掉限制 假設 能夠取 無數次 也就是說一開始把他當做完全背包來考慮
離線DP 預處理 復雜度 4*v

用f[ i ] 表示 空間 為 i 的方案數
答案ans 其實就是所有方案 - 所有超過限制的方案 限制指的就是題目中限制 某個硬幣有幾枚

然後所有超過限制的方案用容斥來做

所有超過限制的方案 要減 == -1 超過限制的方案 - 2 超過限制的方案 - 3 超過限制的方案 - 4 超過限制的方案
+ 1和2 超過限制的方案 +1和3超過限制的方案 + 1和4 超過限制的方案 ..... - 1和2和3超過限制的方案 .....
+ 1和2和3和4 超過限制的方案
然後這樣容斥就行了 因為只有四個數 相當於只要運算 16 次 就行 計算一次的復雜度為 O(1)

總的時間復雜度 4*maxv + T*(1) 復雜度 O(v+T)

----------------------------------

另外 來自 hzwer 的題解

我想起了cf的某道題。。。
dp預處理+容斥原理
byvoid：
設F[i]為不考慮每種硬幣的數量限制的情況下，得到面值i的方案數。則狀態轉移方程為

F[i]=Sum{F[i-C[k]] | i-C[k]>=0 且 k=1..4}

為避免方案重復，要以k為階段遞推，邊界條件為F[0]=1，這樣預處理的時間復雜度就是O(S)。

接下來對於每次詢問，奇妙的解法如下：根據容斥原理，答案為 得到面值S的超過限制的方案數 – 第1種硬幣超過限制的方案數 – 第2種硬幣超過限制的方案數 – 第3種硬幣超過限制的方案數 – 第4種硬幣超過限制的方案數 + 第1,2種硬幣同時超過限制的方案數 + 第1,3種硬幣同時超過限制的方案數 + …… + 第1,2,3,4種硬幣全部同時超過限制的方案數。

當第1種硬幣超過限制時，只要要用到D[1]+1枚硬幣，剩余的硬幣可以任意分配，所以方案數為 F[ S – (D[1]+1)C[1] ]，當且僅當(S – (D[1]+1)C[1])>=0，否則方案數為0。其余情況類似，每次詢問只用問16次，所以詢問的時間復雜度為O(1)。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <string>
 6 #include <algorithm>
 7
 
 #include <iomanip>
 8 #include <iostream> 
 9 #define ll long long 
10 using namespace std ; 
11 
12 int T,v ; 
13 int c[5],d[5]; 
14 ll ans ;
15 ll f[100011] ; 
16 
17 inline int read() 
18 {
19     char ch = getchar() ; 
20     int x = 0 , f = 1 ; 
21     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) { if(ch==‘-‘) f = -1 ; ch = getchar() ; } 
22     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) { x = x*10+ch-48 ; ch = getchar() ; }
23     return x*f ; 
24 }
25 
26 inline void dfs(int x,int k,ll sum) 
27 {
28     if(sum < 0 ) return ; 
29     if(x==5) 
30     {
31         if(k&1) 
32             ans-=f[sum] ;  
33         else 
34             ans+=f[sum] ; 
35         return ; 
36     }
37     dfs(x+1,k+1, sum-(d[x]+1)*c[x] ) ;       //    確保其  一定超出限制   保證  x  一定  超出 限制  
38     dfs(x+1,k,sum) ; 
39 }
40 
41 int main() 
42 {
43     for(int i=1;i<=4;i++) c[ i ] = read() ; 
44     T = read() ;
45     f[ 0 ] = 1 ;  
46     for(int i=1;i<=4;i++) 
47         for(int j=c[ i ];j<=100000;j++)     //  動歸時 不要忘記邊界   
48             f[ j ]+=f[ j-c[ i ] ] ; 
49     while(T--) 
50     {
51         for(int i=1;i<=4;i++) d[ i ] = read() ; 
52         v = read() ; 
53         ans = 0 ; 
54         dfs( 1,0,v ) ; 
55         printf("%lld\n",ans) ;         
56     } 
57     return 0 ; 
58 }

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