SICP 習題1.41 看似和周邊的題目沒有關系，突然叫我們去定義一個叫double的過程，事實上這道題的核心還是高階函數。

題目要求我們定義一個過程double，它以一個過程作為參數，這個作為參數的過程已經約定是一個單參數過程。double過程須要返回一個過程，所返回的過程將傳入的過程應用兩次。

舉例說。假設我們有個過程叫（扇耳光 賤人）。調用這個過程會扇賤人一個耳光。

那麽（double 扇耳光）會返回還有一個過程。這個過程沒有名字，我們暫且叫他“扇倆耳光”吧，調用(扇倆耳光 賤人)就會扇賤人兩個耳光了。

也就是說((double 扇耳光) 賤人)這種調用會扇賤人兩個耳光。

好，題目問我們(((double ( double double)) inc) 5)的結果是什麽，當中inc方法會給傳入參數加1.

要完畢這道題，先看看double怎樣定義吧。

全然依照題目意思，定義的double例如以下：

(define (double f)
  (lambda (x) 
    (f (f x)))) 

為了測試，我定義了一個我自己的inc過程

(define (my-inc x)
  (+ x 1))

最後直接測試

(define test-it (((double ( double double)) my-inc) 5))

結果是21，也就是5+16，就是做了16次加一的操作。

為什麽呢？

我們能夠一步一步展開

;首先將不同的double標號。各自是double1 , double2, double3，這樣比較清晰
(define step1 (((double1 ( double2 double3)) my-inc) 5))

;然後將（double2 double3)展開：
(define step2 (((double1 (lambda (x) (double3 (double3 x)))) my-inc) 5))

;將(lambda (x) (double3 (double3 x))) 命名為lam1:
(define (lam1 x) (double3 (double3 x)))

;這樣step2就等同於以下的step3:
(define step3 (((double1 lam1) my-inc) 5))

;再將(double1 lam1)展開：
(define step4 (((lambda (x) (lam1 (lam1 x))) my-inc) 5))

;將my-inc代入step4中得lambda中：
(define step5 ((lam1 (lam1 my-inc)) 5))

;將裏面的lam1還原回原來的定義：
(define step6 ((lam1 (double3 (double3 my-inc))) 5))

;將裏面的(double3 my-inc)展開：
(define step7 ((lam1 (double3 (lambda (x) (my-inc (my-inc x))))) 5))

; 將step7裏的lambda定義為lam2:
(define (lam2 x) (my-inc (my-inc x)))

。那麽step7能夠轉換為：
(define step8 ((lam1 (double3 lam2)) 5))

; 再將step8中的(double3 lam2)展開得到step9:
(define step9 ((lam1 (lambda (x) (lam2 (lam2)))) 5))

；將step9中得lambda函數定義為lam3:
(define (lam3 x) (lam2 (lam2)))

；那麽step9就能夠轉換成step10這樣：
(define step10 ((lam1 lam3) 5))

; 將step10中的lam1恢復成原來的定義：
(define step11 ((double3 (double3 lam3)) 5))

;將(double3 lam3)展開：
(define step12 ((double3 (lambda (x) (lam3 (lam3 x)))) 5))

;將step12中的lambda函數命名為lam4:
(define (lam4 x) (lam3 (lam3 x)))

；則step12能夠表示成step13這樣：
(define step13 ((double3 lam4) 5))

;將(double3 lam4)展開：
(define step14 ((lambda (x) (lam4 (lam4 x))) 5))

;將5代入step14中的lambda過程中：
(define step15 (lam4 (lam4 5)))

;將lam4還原回原始定義：
(define step16 (lam3 (lam3 (lam3 (lam3 5)))))

;將lam3還原回原始定義：
(define step17 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 (lam2 5)))))))))

;將lam2還原回原始定義:
(define step18 (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc (my-inc 5)))))))))))))))))

。結果就是21了：
(define step19 21)
 

以上的分析過程比較繁瑣，只是也比較具體。

假設從抽象一點的層面來看的話，也能夠用第二種方法

考察以下方法：

(((double ( double double)) my-inc) 5)

double過程的作用是將不論什麽方法嵌套調用兩次。

而(double double)就是將double嵌套調用兩次。結果就是將不論什麽方法嵌套調用4次。

假設有(define four-time (double double))的話，fourtime過程將不論什麽方法嵌套調用4次。

’

進一步看得話(double (double double))相當於(double four-time)。

相當於是(four-time (four-time x))

這裏要特別註意，兩次four-time的嵌套調用並非4+4次，而是4*4次調用，就是16次調用。

習題1.41解題完畢。這道題也能夠非常好地幫助同學們理解高階函數，特別是高階函數的嵌套。

SICP 習題 （1.41）解題總結