【bzoj3698】XWW的難題 有上下界最大流
題目描述
XWW是個影響力很大的人，他有很多的追隨者。這些追隨者都想要加入XWW教成為XWW的教徒。但是這並不容易，需要通過XWW的考核。
XWW給你出了這麽一個難題：XWW給你一個N*N的正實數矩陣A，滿足XWW性。
稱一個N*N的矩陣滿足XWW性當且僅當：（1）A[N][N]=0；（2）矩陣中每行的最後一個元素等於該行前N-1個數的和；（3）矩陣中每列的最後一個元素等於該列前N-1個數的和。
現在你要給A中的數進行取整操作（可以是上取整或者下取整），使得最後的A矩陣仍然滿足XWW性。同時XWW還要求A中的元素之和盡量大。
輸入
第一行一個整數N,N ≤ 100。
接下來N行每行包含N個絕對值小於等於1000的實數，最多一位小數。
輸出
輸出一行，即取整後A矩陣的元素之和的最大值。無解輸出No。
樣例輸入
4
3.1 6.8 7.3 17.2
9.6 2.4 0.7 12.7
3.6 1.2 6.5 11.3
16.3 10.4 14.5 0
樣例輸出
129
題解
有上下界最大流
正常這種題應該是費用流建模，但實際上由於本題的特殊性質，只需要最大流即可解決。
首先一個數最小就是它向下取整，而如果是小數還可以取向上取整。
這裏為了方便，設a[i][j]表示某個數的最小取值，b[i][j]表示某個數能否+1，能則為1，不能則為0.
那麽容易想到建圖：S->第i行最後一列，容量下界為a[i][n]，上界為a[i][n]+b[i][n]；第i行最後一列->最後一行第j列，容量下界為a[i][j]，上界為a[i][j]+b[i][j]；最後一行第j列->T，容量下界為a[n][j]，上界為a[n][j]+b[n][j]。
然後正常人都會發現這是有上下界最大費用流，而實際上很多題解都是有上下界最大流，為什麽？
因為本題的特殊性，一條增廣路一定會經過3條邊，所以費用為流量*3。因此只需要求出最大流，乘以3即為費用。
至於有上下界最大流的具體求法：對於某條邊x->y，容量下界為z，上界為z+w，連x->y，容量為w；SS->y&x->TT，容量為z；加T->S，容量為inf。從SS到TT跑最大流，未滿流則無解，滿流則記錄T->S的容量（即反向邊的殘量）為ans1；再去掉與SS或TT相連的邊，去掉T->S的邊，從S到T跑最大流為ans2，ans1+ans2為解。
另外本題規定的a[n][n]=0實際上並無卵用，直接無視就好。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define N 300
#define M 100000
#define inf 0x3fffffff
using namespace std;
queue<int> q;
int u[N][N] , v[N][N] , head[N] , to[M] , val[M] , next[M] , cnt = 1 , b , e , s , t , dis[N];
void add(int x , int y , int z)
{
to[++cnt] = y , val[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
to[++cnt] = x , val[cnt] = 0 , next[cnt] = head[y] , head[y] = cnt;
}
bool bfs()
{
int x , i;
memset(dis , 0 , sizeof(dis));
while(!q.empty()) q.pop();
dis[s] = 1 , q.push(s);
while(!q.empty())
{
x = q.front() , q.pop();
for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
{
if(val[i] && !dis[to[i]])
{
dis[to[i]] = dis[x] + 1;
if(to[i] == t) return 1;
q.push(to[i]);
}
}
}
return 0;
}
int dinic(int x , int low)
{
if(x == t) return low;
int temp = low , i , k;
for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
{
if(val[i] && dis[to[i]] == dis[x] + 1)
{
k = dinic(to[i] , min(temp , val[i]));
if(!k) dis[to[i]] = 0;
val[i] -= k , val[i ^ 1] += k;
if(!(temp -= k)) break;
}
}
return low - temp;
}
int main()
{
int n , i , j , sum = 0 , ans = 0;
double tmp;
scanf("%d" , &n) , b = 0 , e = 2 * n - 1 , s = 2 * n , t = 2 * n + 1 , add(e , b , inf);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
scanf("%lf" , &tmp) , u[i][j] = (int)tmp , v[i][j] = (tmp > u[i][j]) , sum += u[i][j];
for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) add(b , i , v[i][n]) , add(s , i , u[i][n]) , add(b , t , u[i][n]);
for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) add(i + n - 1 , e , v[n][i]) , add(s , e , u[n][i]) , add(i + n - 1 , t , u[n][i]);
for(i = 1 ; i < n ; i ++ )
for(j = 1 ; j < n ; j ++ )
add(i , j + n - 1 , v[i][j]) , add(s , j + n - 1 , u[i][j]) , add(i , t , u[i][j]);
while(bfs()) sum -= dinic(s , inf);
if(sum)
{
printf("No\n");
return 0;
}
ans = val[3];
for(i = head[s] ; i ; i = next[i]) val[i] = val[i ^ 1] = 0;
for(i = head[t] ; i ; i = next[i]) val[i] = val[i ^ 1] = 0;
val[2] = val[3] = 0 , s = b , t = e;
while(bfs()) ans += dinic(s , inf);
printf("%d\n" , ans * 3);
return 0;
}
【bzoj3698】XWW的難題 有上下界最大流