題目大意

輸入整數n (1<=n<2^31)，求至少兩個正整數，使得它們的最小公倍數為n，且這些整數的和最小，輸出最小的和。

(LRJ小紫書P317頁例題)

思考

看LRJ的分析沒怎麽看懂，隨手搜了一篇題解。發現了一個講的不錯的，讓我恍然大悟。

題解地址

首先假設我們知道了一系列數字a1，a2，a3……an，他們的LCM是n，那麽什麽時候他們是最優解呢，當他們兩兩互質的時候。

簡單證明一下：

設兩個正整數為a,b (a<=b) 其gcd(a,b)=n lcm(a,b)=m sum = a + b

如果n!=1(a,b不互質) 那麽我們在m不變的情況下 優化一下 a = a / n

那麽a變小後,sum必然減少。

那我們怎麽保證兩兩互質呢？方法其實很簡單，直接分解質因子。

所以我們已經得到了這個問題的解法

1.將一個數分解成質因子，將相同的因子乘起來作為一個處理後的因子

2.將處理後得到的多個因子直接相加就是答案

3.因為題目說只要需要兩個數字，所以對於1和素數我們需要小心。對於素數，我們只能分解出一個因子就它自己，對於1一個因子都分解不出來（我們不把1當做因子），他們的答案都是n+1，因為只有1和n的LCM是n 。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include 
 
<cmath>
typedef long long ll;

ll f[233],Count,n,ans;

void init(ll n){
    ll m = (ll)sqrt(n+1);
    Count=0;
    for(ll i=2;i<=m && n>1 ;i++){
        if(!(n%i)){
            ll fac=1;
            while(!(n%i) && n>1){
                fac*=i;
                n
 
/=i;
            }
            f[Count++] = fac;
            //printf("Run\n");
        }
    }
    if(n>1) f[Count++]=n;
}

int main(){
    int Case=0;
    while(scanf("%d",&n) && n!=0){
        ans=0;
        init(n);
        //printf("%d\n",Count);
        if(!Count || Count==1) ans=n+1;
        else for(int i=0;i<Count;i++) ans+=f[i];
        printf("Case %d: %lld\n",++Case,ans);
    }
    return 0;
}

[質因數分解]UVa10791 Minimum Sum LCM