近來學習STL，看到power函數的實現感覺挺有趣，記錄一下。

1. 一般情況下，我自己要實現乘冪函數會這樣實現：

int power(int x,size_t n)
{
    int result = 1;
    while (n--)
        result *= x;
    return result;
}

這樣即使實現，這裏的時間復雜度和n有關，時間復雜度為0（n）。

2. 看了stl源碼實現是這樣：

// Returns __x ** __n, where __n >= 0.  _Note that "multiplication"
// is required to be associative, but not necessarily commutative.  
 
//意思是multiplication要滿足結合律，但不需要滿足交換律

template <class _Tp, class _Integer, class _MonoidOperation>  
_Tp __power(_Tp __x, _Integer __n, _MonoidOperation __opr)  //這裏第三個參數是一個二元操作函數
{
    if (__n == 0)
        return identity_element(__opr);           //返回1
    else 
    {
        while ((__n & 1) == 0
 
)                   //如果n為偶數
        {
            __n >>= 1;
            __x = __opr(__x, __x);
        }

        _Tp __result = __x;
        __n >>= 1;
        while (__n != 0) 
        {
            __x = __opr(__x, __x);
            if ((__n & 1) != 0)                    //如果n為奇數
                __result = __opr(__result, __x);
            __n 
 
>>= 1;
        }
        return __result;
    }
}

template <class _Tp, class _Integer>
inline _Tp __power(_Tp __x, _Integer __n)
{
    return __power(__x, __n, multiplies<_Tp>());
}

// Alias for the internal name __power.  Note that power is an extension,
// not part of the C++ standard.

template <class _Tp, class _Integer, class _MonoidOperation>
inline _Tp power(_Tp __x, _Integer __n, _MonoidOperation __opr)   //也可以自定義，傳進去一個函數
{
    return __power(__x, __n, __opr);
}

template <class _Tp, class _Integer>
inline _Tp power(_Tp __x, _Integer __n)   //默認情況下是乘冪
{
    return __power(__x, __n);
}

這裏：當n為偶數時，X^n=(X^2)^(2/n），此時看2/n是否還是偶數，如果是則繼續，否則，轉向n是奇數的情況；

當n為奇數時，X^n=X*X^(n-1)；

例如計算5^6=(5^2)^3，也就是計算25^3。

這種情況和第三種情況類似，只是當n開始為偶數時，比第三種方法的效率更高，n為奇數時，和第三種方法時間復雜度一樣。

3. 看了還有一種實現，和stl源碼差不多，只是表示更簡潔，和第二種情況相比效率會差點：

int power(int x, size_t n)
{
    if(n == 0)
        return 1;
    int result = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1)                    //n為奇數時
            result *= x;            
        n >>= 1;
        x *= x;                 
    }
}

如計算5^6是6化為二進制為0110，所以這裏5^6=5^2*5^4，這裏時間復雜度為0（(log2n)+1）

power（乘冪）函數剖析