BZOJ4555求和（cdq分治+NTT）
阿新 • • 發佈：2017-07-03
width 枚舉 個數 .com 不為 影響 問題 .cn 特殊
題意：
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輸出f(n)對998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的結果。1 ≤ n ≤ 100000
其中S(i,j)是第二類Stirling數，即有i個球，丟到j個盒子中，要求盒子不為空的方案總數
S(i,j)=S(i-1,j-1)+j*S(i-1,j) （前面一項表示第i個球單獨放到一個盒子中，後面一項表示放到前面j個盒子中的某一個）
分析：
首先這個n不是喪心病狂的大，所以感覺可以求i=1時的結果,i=2時的結果,i=3時的結果……，於是可以不看第一個Σ
我們考慮後面的這項
這個表示有n個球，要丟到i個盒子中，這些盒子是有序的，並且球在盒子中有兩種狀態
換個方式枚舉，枚舉最後一個盒子中球的個數，那麽有
右邊這個有卷積的感覺了，再來弄一下，將組合公式帶進去
令G(n)=g(n)/n!
那麽有
這個inv(n-i)表示模意義下(n-i)!的逆元，這個預處理很簡單
問題是這個並不是很簡單的卷積，因為卷積是A(n)=ΣB(i)*C(n-i)，但這裏A=C
這裏可以采取cdq分治的思想
我們要求G(l..r)
第一步：求G(l..mid)
第二步：求G(l..mid)對G(mid+1,r)的影響
第三步：求G(mid+1,r)
具體說下第二步
這時候G(l,mid)都已經確定了，它們對G(mid+1)的貢獻是容易發現就是G(0,mid-l)和inv(0,r-l)的卷積
所以就是cdq分治過程中進行FFT
但因為這題數字很大，所以用FFT會出現精度上的問題
而且這題模數那麽特殊，所以直接上NTT……
T(n)=T(n/2)+O(nlogn)
這個復雜度應該介於O(nlogn)和O(nlog^2n)之間吧……
BZOJ4555求和（cdq分治+NTT）