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描述

給定三個正整數 a、 b 和 p，滿足 b 和 p 互質。這時分數 a / b 除以 p 的余數，即 a / b MOD p 可以定義為 a × b^-1 MOD p。

其中b^-1 是 b 的逆元，它滿足 1 ≤ b^-1 < p 且 b × b^-1 ≡ 1 MOD p，滿足上述條件的 b^-1有且僅有一個。

例如 2^-1 ≡ 4 MOD 7，因為2 × 4 ≡ 1 MOD 7； 3^-1 ≡ 3 MOD 8，因為3 × 3 ≡ 1 MOD 8。

於是我們可以利用b^-1求出a / b MOD p，例如： 3 / 2 MOD 7 = 3 × 2^-1

給定三個正整數 a、 b 和 p，滿足 b 和 p 互質，求 a / b MOD p。

輸入

第一行包含3個正整數，a、b 和 p 滿足 b 和 p 互質。

對於30%的數據，1 ≤ a, b < p ≤ 100

對於80%的數據，1 ≤ a, b < p ≤ 100000

對於100%的數據，1 ≤ a, b < p ≤ 1000001333

輸出

輸出 a / b MOD p的值。

樣例輸入 3 2 7樣例輸出 5
其實不過是一個求逆元的題目，但是學到了不少東西，認識到許多學習的東西都是在表面，學的不夠紮實。如果 求逆元的方法可以使用費馬小定理，p是質數，那麽a關於p的逆元就是a ^p-2

雖然AC但是錯誤的代碼：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;

LL quick_exp(LL a, LL n, int mod)
{
    LL ans = 1;
    
 
while(n)
    {
        if(n & 1) ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return (ans + mod) % mod;
}

int main()
{
    LL a,b;
    int p;
    scanf("%lld%lld%d", &a, &b, &p);
    int bn = quick_exp(b, p - 2, p);
    printf("%lld\n", (a * bn) % p);
    return 0;
}

但是，如果p與a是互質的，但是p不是怎麽辦呢？如果還是利用費馬小定理是不夠的了。有個歐拉定理如果p與a互質，那麽a ^φ(p)-1 MOD p = 1. φ(p) 是指比p小的但是與p互質的整數個數。可以看出來費馬小定理是個特例，如果p是素數，那麽φ(p)=p-1，自然解決問題。如果 p = p₀^k ( p₀ 是素數) ,那麽明顯就有φ(p) = p₀^k-p₀^k-1 ，提取公因式就有φ(p) = (p₀-1)*p₀^k-1如果p = p1*p2 ( p1, p2 是素數)，那麽明顯也有φ(p) =φ(p1) *φ(p2) 又因為任意的整數都可以分解成若幹素數的乘積（例如 15 = 3 * 5， 120 = 2³ * 3 *5）,(唯一分解定理)綜上，所以有歐拉函數的計算公式φ(p) = p / p1 * (p1 - 1) / p2 * (p2 - 1) ……故正確的AC代碼應該是

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;

LL euler_phi(LL x)
{
    LL ans = x;
    int m =sqrt(x);
    for(int i = 2; i <= m; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            while(x % i == 0)
                x /= i;
            ans = ans / i * (i - 1);
        }
    }
    if(x > 1) ans = ans / x * (x - 1);
    return ans;
}

LL quick_exp(LL a, LL n, int mod)
{
    LL ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return (ans + mod) % mod;
}

int main()
{
    LL a,b;
    int p;
    scanf("%lld%lld%d", &a, &b, &p);
    int bn = quick_exp(b, euler_phi(p) - 1, p);
    printf("%lld\n", (a * bn) % p);
    return 0;
}

當然，我們也可以直接使用擴展歐幾裏得算法直接計算逆元，而且沒有那麽多彎彎繞。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;

void extra_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d)
{
    if(b == 0)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        extra_gcd(b, a%b, y, x, d);
        y -= (a/b) * x;
    }
}

int main()
{
    LL a, b, p, x, y, d;
    scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p);
    extra_gcd(b, p, x, y, d);
    x = (x + p) % p;
    printf("%lld\n", (a * x) % p);
    return 0;
}

HihoCoder 1153 分數取模