問題定義

流網絡

• 圖G=(V,E)：有向圖、連通圖
• 容量：每條邊(u, v)∈G有非負的容量值c(u, v)，表示該邊的流量最大值
• 反平行邊：兩條邊的起點和終點相反，(u, v)和(v, u)是反平行
  • 圖中不允許有反平行邊，也就是有邊(u, v)，則不存在反方向的邊(v, u)
  • 圖中不允許自循環
• 圖中有兩個點源結點s和匯點t。源結點是網絡流的起點，匯點是流的終點

G中流

• 一個實值函數f：V x V -> R，兩個點間的流量

• 性質1——容量限制：每條邊上的流不超過容量。對於所有結點u, v∈V，要求0≤f(u, v)≤c(u v)

• 性質2——流量守恒
  ：除了源結點和匯點，每個點的流入量=流出量

最大流問題

給定一個流網絡G、一個源結點s、一個匯點t，找到值最大的一個流

定義：出發點為源點，接受流量 的匯聚點為匯點，邊上的權值為可以流過的最大值

幾個關鍵定義

殘存網絡G_f：由仍可以對流量進行增加/減少的邊構成（流過的量不超過容量的邊），包含原圖中的邊，以及可能包含對應的反向邊

殘存容量c_{f：一條邊還可以增加的最大流量（與容量c不同，c表示的是一開始就確定的流量最大值）}

由c_f再定義一次G_f：c_f>0的邊

為什麽要在G_f中加反向邊？

通過增加反向邊，讓我們可以撤銷原來的流量操作。為什麽要撤銷呢？

來自《數據結構與算法分析》上的一個例子

原圖	流圖（原圖上的流）	殘余網絡
			殘余網絡中沒有增加反向邊 s->t沒有新的可達路徑 算法結束，但沒有達到目的 （得到最大流）
原來的網絡流圖 0/5表示邊的容量為5	圖中每條邊上流量的一個狀態 選擇一條可達路徑s-a-d-t 發送流量=3到這條路徑上		增加了反向邊， s->t存在新的可達路徑 把原來s-a-d-t的流撤銷一部分 被撤銷的部分可以分流到其它路徑

增廣路徑：給定流網絡G=(V, E)，增廣路徑是殘存網絡中一條從源結點到匯點的簡單路徑（沒有分支）

流網絡的切割

流網絡G=(V, E)的一個切割就是將結點集合劃分成兩個集合S和T

• 切割(S, T)的容量：集合S中每個點到集合T中每個點的容量之和

• 最小切割：網絡中容量最小的切割
• 最大流最小切割定理

設f為流網絡G=(V, E)中的一個流，該流網絡的源結點為s，匯點為t，則下面的條件等價：

• • f是G的一個最大流
  • 殘存網絡G_f不包括任何增廣路徑
  • |f|=c(S, T) 流網絡中任意流都不能超過任意切割的容量

Ford-Fulkerson方法

基本步驟

1. 尋找一條增廣路徑p，用p來對流進行修改（增加）
2. 直到沒有任何增廣路徑

整理了一下概念，接下來找找例子再補一下

參考

1. 《算法導論》原書第3版

2. 《數據算法與算法分析——C語言描述》原書第2版

最大網絡流