一些簡單的排列組合問題
A(n,m)表示或
【P(n,m)】表示。
A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(當n=m時，上述式子分母為0!=1).
組合及計算公式
從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號例1：傳送門
例2：將n個相同的球放到m個不同的袋子裏有幾種方案？
分析：假設m=3,n=2,我們可以這麽放(*代表求，空白區域代表袋子): *| |*,還可以這麽放： |**| ,還可以這麽放：| |**......這樣的話就有m-1個隔板(|)和n個球需要放置在n+m-1個位置中，考慮放置隔板的方案數為C(n+m-1,m-1),考慮求的方案數為C(n+m-1,n),那麽答案為C(n+m-1,m-1) = C(n+m-1,n).
例3：將n個不同的球放到m個不同的袋子裏有幾種方案？
分析：第一個袋子可以放n種球，第二個袋子可以放n-1種球......第m個袋子可以放n-m種球，答案為n*(n-1)*...*(n-m).這樣分析有點麻煩，因為每一種球都是不一樣的，每一種球都只能放進1個袋子裏，而每一種袋子則不一樣，可以裝下n種球。所以我們對球進行分析：第一個球可以放m個袋子裏，第二個球可以放m個袋子裏，...,第n個球可以放m個袋子裏，答案為m^n.
例4：將n個不同的球放到m個相同的袋子裏有幾種方案？
分析：袋子相同就沒辦法用數學公式推導了，考慮dp.令f[i][j]表示前i個球放在j個袋子裏的方案數。考慮第i個球怎麽放，如果第i個球占用了一個新的袋子，那麽f[i][j] += f[i-1][j-1]就好了。如果沒有呢？那麽這個球就能放到j個袋子裏，即f[i][j] += f[i-1][j] * j,合並一下f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j] * j.答案是f[n][1] + f[n][2] + ...+ f[n][m]
例5：將n個相同的球放到m個相同的袋子裏有幾種方案？
分析：球相同，袋子也相同，這要怎麽計數啊QAQ,要既不多也不少的計數，肯定是有某一種順序，我們按照每個袋子裝球的數量降序排列，這就相當於把相同的袋子強行當成了不同的袋子，為了維護這個降序，我們一旦在第i個袋子放一個球，那麽前面的袋子都必須要放一個球，當然，我們也可以考慮不在這個位置多放一個球，我們在後面的袋子放，所以f[i][j] = f[i-j][j] + f[i][j-1].這道題和上一道題有一個很大的區別，上一道題的狀態轉移方程沒有考慮不放的情況，是因為袋子是相同的，放在這個袋子和那個袋子是沒有區別的，我們硬性規定第i個球必須放在我們選定的j個袋子中，而這一題雖然題面上說袋子相同，但是我們硬性規定是不同的，所以可以考慮不放的情況。
總結：這四道題可以得出一個規律：袋子不同用數學，袋子相同用dp,不同和相同的區別在於，不同的話我們可以單獨考慮第i個，相同的話必須要變成“不同”的才能單獨考慮!
一些簡單的排列組合問題