P3048 [USACO12FEB]牛的IDCow IDs

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• 題目提供者lin_toto
• 標簽USACO2012
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• 誰能解釋一下這個樣例啊....

題目描述

Being a secret computer geek, Farmer John labels all of his cows with binary numbers. However, he is a bit superstitious, and only labels cows with binary numbers that have exactly K "1" bits (1 <= K <= 10). The leading bit of each label is always a "1" bit, of course. FJ assigns labels in increasing numeric order, starting from the smallest possible valid label -- a K-bit number consisting of all "1" bits. Unfortunately, he loses track of his labeling and needs your help: please determine the Nth label he should assign (1 <= N <= 10^7).

FJ給他的奶牛用二進制進行編號，每個編號恰好包含K 個"1" (1 <= K <= 10)，且必須是1開頭。FJ按升序編號，第一個編號是由K個"1"組成。

請問第N(1 <= N <= 10^7)個編號是什麽。

輸入輸出格式

• Line 1: Two space-separated integers, N and K.

輸入輸出樣例

7 3 

10110 
分析：首先有一個很簡單的結論：一個只有0和1的數字串，只有1對數字串大小有影響，0沒有影響。很簡單證明，大小取決於1的位置和數量。
      這道題有一個限制：第一位必須是0，那麽我們先將這個串用足夠大小保存，足夠大的話我們可以添加前導0，到最後從第一個非0位輸出即可，也就是說我們要找到一個m,使得C(m,k) >= n,這個可以用二分實現，我們先弄一個m位的全是0的串。然後考慮C(i-1,k)的意義，即還剩i-1位可以填k個1的方案數，也就是說我們還有C(i,k)個不同大小的數，如果C(i-1,k) < n,則說明剩下的數還不夠n個，我們不能找到第n大的數，於是我們在i位填1，那麽這個數就是能夠出現的C(i-1,k)個數中最大的，n-=C(i-1,k),k--,如果C(i-1,k) >= n,說明後面還能找到第n大的，我們填0即可，就這樣模擬一下就好了。
      不過這個組合數會非常大，還會爆long long,需要分類討論進行二分.
 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

long long n, k, f[50][20], m;
long long num[110000], cnt;

long long Combination(long long n, long long m)
{
    long long ans = 1;
    for (long long i = n; i >= (n - m + 1); --i)
        ans 
 
*= i;
    while (m)
        ans /= m--;
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    if (k == 1)
    {
        for (int i = n; i; i--)
        {
            if (i == n)
                printf("1");
            else
                printf("0");
        }
        return 0;
    }
    else
    {
        if (k == 10)
        {
            long long l = 1, r = 600;
            while (l <= r)
            {
                long long mid = (l + r) >> 1;
                if (Combination(mid, k) >= n)
                {
                    m = mid;
                    r = mid - 1;
                }
                else
                    l = mid + 1;
            }
        }
        else
        {
            if (k >= 7)
            {
                long long l = 1, r = 1000;
                while (l <= r)
                {
                    long long mid = (l + r) >> 1;
                    if (Combination(mid, k) >= n)
                    {
                        m = mid;
                        r = mid - 1;
                    }
                    else
                        l = mid + 1;
                }
            }
        else
        {
            long long l = 1, r = 7000;
            while (l <= r)
            {
                long long mid = (l + r) >> 1;
                if (Combination(mid, k) >= n)
                {
                    m = mid;
                    r = mid - 1;
                }
                else
                    l = mid + 1;
            }
        }
        }
        for (long long i = m; i; i--)
        {
            long long t = Combination(i - 1, k);
            if (t < n)
            {
                num[i] = 1;
                n -= t;
                k--;
                if (!cnt)
                    cnt = i;
            }
            if (!k || !n)
                break;
        }
        for (long long i = cnt; i; i--)
            printf("%d", num[i]);
    }

    return 0;
}

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