P3200 [HNOI2009]有趣的數列

題目描述

我們稱一個長度為2n的數列是有趣的，當且僅當該數列滿足以下三個條件：

(1)它是從1到2n共2n個整數的一個排列{ai}；

(2)所有的奇數項滿足a1<a3<...<a2n-1，所有的偶數項滿足a2<a4<...<a2n；

(3)任意相鄰的兩項a2i-1與a2i(1<=i<=n)滿足奇數項小於偶數項，即：a2i-1<a2i。

現在的任務是：對於給定的n，請求出有多少個不同的長度為2n的有趣的數列。因為最後的答案可能很大，所以只要求輸出答案 mod P的值。

輸入輸出格式

輸入文件只包含用空格隔開的兩個整數n和P。輸入數據保證，50%的數據滿足n<=1000，100%的數據滿足n<=1000000且P<=1000000000。

僅含一個整數，表示不同的長度為2n的有趣的數列個數mod P的值。

輸入輸出樣例

3 10

5

對應的5個有趣的數列分別為（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

/*
    裸的卡特蘭數。。。。
    公式：C(n,2*n)/(n+1)%p
    C(n,2*n)表示在2*n個數中選n個，就是組合數啦。。。
    公式可以展開：((2*n)！/n!*(n+1)!)%p
    於是出現唯一的難點：取模
    題目中沒說p是不是質數。。。
    因為(2*n)！一定能被n!*(n+1)!)整除
    所以對於每一個小於2*n的質因數p來說，(2*n)！中一定存在數量更多的(或一樣多)的因數p
    於是可以分解質因數。。。
    這是線性的，可以預處理。。。
    於是此題解決。。。
 
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,p;
int a[3000005],pri[3000005],cnt=0;
LL pow(LL a,LL b){
    LL s=1;
    while(b){
        if(b&1) s=s*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return s;
}
int main(){
    LL ans=1;
    LL m,s
 
=0;
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    for(int i=2;i<=n*2;i++){//歐拉篩 
        if(a[i]==0)
            pri[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=n*2;j++){
            a[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        s=0;
        m=2*n;
        while(m>0){
            m=m/pri[i];
            s=s+m;
        }
        m=n;
        while(m>0){
            m=m/pri[i];
            s=s-m;
        }
        m=n+1;
        while(m>0){
            m=m/pri[i];
            s=s-m;
        }
        ans=ans*pow(pri[i],s)%p;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

洛谷P3200 [HNOI2009]有趣的數列（Catalan數）