堆排序 Heap Sort

堆排序是一種選擇排序，其時間復雜度為O(nlogn)。

堆的定義

　　n個元素的序列{k₁，k₂，…,k_n}當且僅當滿足下列關系之一時，稱之為堆。

　　情形1：k_i <= k_2i 且k_i <= k_2i+1 （最小化堆或小頂堆）

　　情形2：k_i >= k_2i 且k_i >= k_2i+1 （最大化堆或大頂堆）

　　其中i=1,2,…,n/2向下取整;

　　若將和此序列對應的一維數組（即以一維數組作此序列的存儲結構）看成是一個完全二叉樹，則堆的含義表明，完全二叉樹中所有非終端結點的值均不大於（或不小於）其左、右孩子結點的值。

　　由此，若序列{k₁，k₂，…,k_n}是堆，則堆頂元素（或完全二叉樹的根）必為序列中n個元素的最小值（或最大值）。

　　例如，下列兩個序列為堆，對應的完全二叉樹如圖：

　　若在輸出堆頂的最小值之後，使得剩余n-1個元素的序列重又建成一個堆，則得到n個元素的次小值。如此反復執行，便能得到一個有序序列，這個過程稱之為堆排序。

　　堆排序（Heap Sort）只需要一個記錄元素大小的輔助空間（供交換用），每個待排序的記錄僅占有一個存儲空間。

堆的存儲

　　一般用數組來表示堆，若根結點存在序號0處， i結點的父結點下標就為(i-1)/2。i結點的左右子結點下標分別為2*i+1和2*i+2。

　　（註：如果根結點是從1開始，則左右孩子結點分別是2i和2i+1。）

　　如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

　　如最大化堆如下：

　　左圖為其存儲結構，右圖為其邏輯結構。

堆排序的實現

　　實現堆排序需要解決兩個問題：

　　　　1.如何由一個無序序列建成一個堆？

　　　　2.如何在輸出堆頂元素之後，調整剩余元素成為一個新的堆？

　　先考慮第二個問題，一般在輸出堆頂元素之後，視為將這個元素排除，然後用表中最後一個元素填補它的位置，自上向下進行調整：首先將堆頂元素和它的左右子樹的根結點進行比較，把最小的元素交換到堆頂；然後順著被破壞的路徑一路調整下去，直至葉子結點，就得到新的堆。

　　我們稱這個自堆頂至葉子的調整過程為“篩選”。

　　從無序序列建立堆的過程就是一個反復“篩選”的過程。

構造初始堆

　　初始化堆的時候是對所有的非葉子結點進行篩選。

　　最後一個非終端元素的下標是[n/2]向下取整，所以篩選只需要從第[n/2]向下取整個元素開始，從後往前進行調整。

　　比如，給定一個數組，首先根據該數組元素構造一個完全二叉樹。

　　然後從最後一個非葉子結點開始，每次都是從父結點、左孩子、右孩子中進行比較交換，交換可能會引起孩子結點不滿足堆的性質，所以每次交換之後需要重新對被交換的孩子結點進行調整。

進行堆排序

　　有了初始堆之後就可以進行排序了。

　　堆排序是一種選擇排序。建立的初始堆為初始的無序區。

　　排序開始，首先輸出堆頂元素（因為它是最值），將堆頂元素和最後一個元素交換，這樣，第n個位置（即最後一個位置）作為有序區，前n-1個位置仍是無序區，對無序區進行調整，得到堆之後，再交換堆頂和最後一個元素，這樣有序區長度變為2。。。

　　不斷進行此操作，將剩下的元素重新調整為堆，然後輸出堆頂元素到有序區。每次交換都導致無序區-1，有序區+1。不斷重復此過程直到有序區長度增長為n-1，排序完成。

堆排序實例

　　首先，建立初始的堆結構如圖：

　　然後，交換堆頂的元素和最後一個元素，此時最後一個位置作為有序區（有序區顯示為黃色），然後進行其他無序區的堆調整，重新得到大頂堆後，交換堆頂和倒數第二個元素的位置……

　　重復此過程：

　　最後，有序區擴展完成即排序完成：

　　由排序過程可見，若想得到升序，則建立大頂堆，若想得到降序，則建立小頂堆。

代碼

　　假設排列的元素為整型，且元素的關鍵字為其本身。

　　因為要進行升序排列，所以用大頂堆。

　　根結點從0開始，所以i結點的左右孩子結點的下標為2i+1和2i+2。

算法 - 堆排序