今天，我給大家分享一下我在學習 RMQ 問題過程中對該問題的理解。

RMQ （Range Minimum／Maximum Query ）：中文名為“區間最值查詢”。RMQ 問題指的是給定一段區間，針對給定區間進行若幹次查詢，每次給出不同的待查詢子區間範圍，要求返回子區間內的最大值或者最小值。

一般此類問題會給出區間內總元素個數 n 、待查詢的次數 q ，以及每次查詢的始末位置。

根據常規的思路，要找出一段區間中的最大值或最小值，我們會采取遍歷區間的做法，該方法的核心代碼在此不作展示。分析可知，n 個數據的規模，進行 q 次查詢，時間復雜度為 o（q＊n ），當問題的規模逐漸增大或者查詢的次數逐漸增多的時候，我們無法在有限的時間內完成任務。因此，尋找更方便更快捷的辦法成為我們的目標。在學習算法的道路上，我們都知道，第一直覺想出來的解決思路往往是最直接也是最低效的，於是理所當然的，我們需要對原來的思路進行改進，甚至摒棄原來低效的方法另辟蹊徑。常規的思路時間主要耗費在對最值的查詢和求解工作上，我們可以想辦法將查詢時間縮短，有人提出將可能查詢的區間列出來，針對每個區間找出其中的最值存儲在數組裏，每次查詢最值數組即可,這個思路需要存儲的量有三個，起始點、終止點、區間最值，可以考慮模仿動態規劃的理念，對二維數組的兩個下標和存儲的值賦予特殊含義，即用二維數組的第一坐標表示起始點、第二坐標表示終止點，那麽值就可以表示區間最值。這樣一來，查詢的時間縮短為 o（1），但是問題在於，該 n＊ n 的二維數組賦值的時候，如果采用遍歷對應區間的方法求最值，整個二維數組賦值過程時間復雜度為 o（n^3），這就意味著，雖然做了多余的工作，也做了合理的設想，但是並未達到優化問題的目的。這是不是意味著當前的思路不可行呢？我們需要先考慮該二維數組賦值過程能不能優化，如果不能，那這個思路就可以宣布失敗了。

天無絕人之路，機會總是偏愛大膽實踐的人。我們可以在此作出大膽預測，如果采用以上對二維數組的定義：第一坐標表示起始點，第二坐標表示終止點，值表示最值，即使求解最值的方法時間復雜度是 o（1），那求解該二維數組的整個過程時間復雜度也在 o（n^2），我們知道並沒有 o（1）求解亂序區間最值的方法，因此，可以得出結論，以上對二維數組的定義無法達到優化的目的。

這就意味著問題不僅出現在求解區間最值的方法上，同時基本的二維數組定義也是不合理的。不合理之處在於規模過大，我們需要想辦法縮小二維數組的規模。表示某一區間和其最值除了首末端點和最值三個參數這種方法，還可以用區間起始點、區間長度、區間最值三個參數。區間長度範圍是 1 ～ n ，換個思路想一下，表示區間長度時候定義可以是多樣的。

由此衍生出第二種方法－－ ST 方法。

ST（Sparse Table）方法，sparse 中文譯為：稀疏的，稀少的，零星的；table 中文譯為：桌子，表，目錄，手術臺，工作臺，遊戲臺；Sparse Table 具體中文名到底如何翻譯，沒有一個固定說法，我們暫且稱之為 ST方法，該方法的本質是用動態規劃方法求出用於查詢的最值數組，以待查詢子區間的起始位置和區間長度標記一個狀態，以該子區間內的最大值或最小值作為狀態值。

以求最大值為例： dp[ i ][ j ] = max ，其中，i 表示待查詢子區間起始位置 ；j 表示待查詢子區間的長度為 2 ^ j , max 表示在該子區間中最大值為 max 。 分析可知：1 <= i <= n , 0 <= j <= log n （以 2 為底）, 此時，二維數組的規模為 n ＊log n （以 2 為底） 。動態規劃的表達式有了，現在我們來研究狀態轉換方程，由 dp 數組的定義可以看出來，dp[ i ][ j ] 表示的區間長度 2 ^ j 一定是偶數，因此，區間可以等分為兩個長度為 2 ^( j - 1 ) 的子區間，依照分治的思想，求該區間的最值，可以通過選擇兩個子區間最值中的最值來實現。此時,狀態轉換方程為：

dp[ i ] [ j ] = max ( dp[ i ][ j - 1 ] , dp[ i + 2^( j - 1 ) - 1][ j - 1 ] )

求最值數組具體的核心代碼實現過程如下：

註意，第 13 行的註釋“ j 必須為外層循環控制量”，原因在於求解過程中，先求出以各元素為初始元素區間長度為 1 的最值，再求出以各元素為初始元素區間長度為 2 的最值，依次求解。因此 i 為內層循環控制量， j 為外層循環控制量，而不能以 i 為外層循環控制量，因為此時假設 求 dp[ i ] [ j ] ，如果 i 為外層循環控制量，dp[i][j] = max( dp[i][j-1] , dp[i + 2 ^(j-1) - 1][j-1]) ,其中 dp[ i ][ j - 1] 已知 ，但是 dp[i + 2 ^(j-1) - 1][j-1] 未知的，準確說， 第一坐標值 大於 i 的值都是未知的。

查詢的時候，已知的信息是始末元素下標 start 和 end ，我們的 dp 數組中存儲的是長度為 2 的冪的區間最值，對於長度非 2 的冪的區間，我們需要找到能夠覆蓋這個區間的兩個區間，選取兩者的最值即可。

如下，求下標 1 ～12 的元素中的最值，log 12 （以 2 為底）＝ 3 ，因此選取 F（1，3）和 F（5，3）兩個區間，組合起來可以覆蓋待求區間的所有數據。

查詢部分核心代碼如下：

今天的分享就到這裏，其他相關的方法且看下篇文章。

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RMQ問題第一彈