樹狀數組（Binary Indexed Tree）

前面幾篇文章我們分享的都是關於區間求和問題的幾種解決方案，同時也介紹了線段樹這樣的數據結構，我們從中可以體會到合理解決方案帶來的便利，對於大部分區間問題，線段樹都有其絕對的優勢，今天這篇文章，我們就來欣賞由線段樹變形的另外一個數據結構－－樹狀數組，樹狀數組通常也用於解決區間求和、單點更新的問題，而且效率比線段樹高一些（樹狀數組區間求和和單點更新的時間復雜度均為o（log n）），相對而言，線段樹的應用範圍可能更廣泛一些。但不得不承認，樹狀數組確實也是一種優雅高效的結構。接下來，我們就一起來揭開它的神秘面紗。

第一點，樹狀數組的結構和線段樹類似，但是比線段樹的節點少，第二點，樹狀數組的每個節點中存儲的也是對應範圍的元素和，同時與線段樹一樣，樹狀數組也是采用數組存儲結構，第三點，樹狀數組與線段樹的下標定義規則不同。如下圖所示，這是線段樹的存儲圖：

我們從上篇文章（文章鏈接：線段樹第二彈（區間更新））中可以發現，線段樹的下標編碼規則是由上而下、從左至右依次編碼，在樹狀數組中，不再采用這樣的編碼方式，具體如何編碼稍後將會解釋，現在我們先來觀察一下線段樹的特征。

我們假設，此線段樹中每個節點存儲的是相應的區間範圍內所有元素的和。這時我們可以發現，對於每個右孩子節點的值，我們總能通過其父親節點值減去左兄弟節點值來計算，這就意味著，即使沒有右節點，也絲毫不影響我們求解對應區間的區間和，那我們何不節省空間，但這樣又引發了另外一個問題，在去掉所有的右節點之後，之前的下標編碼方式肯定是用不了了，這時候我們就需要一套新的下標編碼方式，既能節省這部分空間，又不會將原來的問題復雜化，最好能將問題進一步簡化，這就是樹狀數組的產生背景。至於新的一套編碼方式一路走來經歷怎樣的探索過程，不是我們今天要說明的重點，在此我就不作過多的解釋，現在我就直接拋出樹狀數組最後確定版的下標編碼方式，使用這個方式的原因當然是：它簡單啊、好用啊、優雅啊，何以見得？等看完這篇文章，你大概就能體會到它的魅力了。

如下圖所示為樹狀數組的邏輯結構，其中每個節點中存儲的依然是對應區間的元素和：

這是樹狀數組的邏輯結構，其中方塊中的數字表示對應區間的下標範圍，紅色字體表示節點的下標，圖中的藍色粗線條將每個節點和其對應的下標連接（線條這麽粗，大概不會有人看不清楚了吧）。乍一看覺得節點下標的編碼方式似乎有點無理取鬧，同一層級的兩個節點竟然下標不相連，這是什麽邏輯？每當我們感覺走投無路的時候，也就是我們需要重新審視手裏掌握的所有線索的時候，只有不放過任何一個細微的線索，才能找到破解之法。不妨我們就將所有能觀察到的線索一一列出。

上面我們介紹的其實是樹狀數組的邏輯結構，它的物理存儲就是一個一維的數組。我們將上圖的特征制表如下：

觀察上表，我們可以得出如下結論：

一、節點下標為 i 時，節點中對應的最後一個元素下標為 i

二、節點下標對應的二進制數末尾有 k 個 0 ，節點中對應的元素個數為 2 ^ k

三、節點中對應的元素下標是連續的

四、樹狀數組的節點個數和原數據元素個數相等

以上便是樹狀數組的主要基本特征，知道了這些特征之後，我們可以發現，要改變原數據數組中的一個元素值，在樹狀數組中最多需要更改 o（log n）個節點值，因此單點更新的時間復雜度為 o（log n）。單點更新的具體實現怎麽做，在文章末尾會向大家展示，現在先繼續討論接下來的問題。

這時候我們會發現，剛才所列出來的所有特征，似乎沒什麽用得上的，就像在生活中我們手裏掌握的零碎的知識、技能、人脈等看起來是一片散沙，我們不知道什麽時候才會用得到，甚至窮盡一生也不可能全都用得到，但是一旦有機會用，我們才能真正意識到那些是多麽的重要，其中的聯系是多麽緊密。與其說學習算法是在學一門技術，不如說是在學習一門藝術，因為在此期間接觸到的很多方法都可以從生活中找到影子。所以我們暫時不要灰心，繼續研究，也許更深入些，這些瑣碎的特征就會變得有用。

樹狀數組方便處理的其實是“前 i 個元素和”這種問題，

以上圖為例：

前 1 個元素和為

sum[1] = sum[0001] = tree［1］= tree[0001]

前 2 個元素和為

sum[2] = sum[0010] = tree［2］=tree[0010]

前 3 個元素和為

sum[3] = sum[0011] = tree［2］＋tree［3］= tree[0011] + tree[0010]

前 4 個元素和為

sum[4] =sum[0100] = tree［4］= tree[0100]

前 5 個元素和為

sum[5] = sum[0101]= tree［4］＋tree［5］=tree[0101]+tree[0100]

前 6 個元素和為

sum[6] = sum[0110] = tree［4］＋tree［6］= tree[0110] + tree[0100]

前 7 個元素和為

sum[7]=sum[0111]=tree[7]+tree[6]+tree[4]=tree[0111]+tree[0110]+tree[0100]

前 8 個元素和為

sum[8] = sum[1000] = tree［8］= tree[1000]

紅色部分是下標的二進制表示形式，我覺得到目前為止，我們可能真的是走投無路，才無所不用其極，連下標也不放過。仔細觀察這些下標，似乎還是有一定的規律可循的，現在我們就挑一個表達式最長，能說明問題的來研究一下

sum[7]=sum[0111]=tree[7]+tree[6]+tree[4]=tree[0111]+tree[0110]+tree[0100]

由上述表達式可以發現，前7個元素和 sum[0111] 的加數包括 tree[0111], 在此基礎上，每次將下標從右向左數第一位 1 抹去作為下一個加數的下標， 直到數字變為 0 結束，0111 抹去最後一位 1 得到 0110，0110 抹去最後一位 1 得到 0100，0100 抹去最後一位 1 得到 0000 結束運算。這似乎勉強可以算作一個規律吧，經過驗證發現，以上所有的表達式均符合這個規律。在此我可以告訴大家，經過無數的高手驗證，這個規律確實存在，所以我們可以大膽的使用。

但是，在我們用話語描述的時候，可以說抹掉最後一位 1 ，在實際的實現中，我們就需要用規範的語言來表達，要想達到抹掉最後一位 1 的效果，就需要減去一個數 x ，將 0111 抹掉最後一位 1 得到 0110 時，x = 0001,將0110抹掉最後一位 1 得到 0100 時，x ＝ 0010 ，將 0100 抹掉最後一位 1 時，x ＝ 0100 。也就意味著，原數值需要抹掉哪一位，那麽 x 的哪一位就為 1 ，其余各位均為 0 。如何求原數值最後一位 1 是哪一位呢？我們可以發現原數值末位有 k 個 0 時，x ＝ 2 ^ k，現在，我們前面列出來的特征就有聯系了。目前我們的任務就是求 k 的值，當然對於人來說，一眼看出一個數末尾有幾個0簡直易如反掌，但對於計算機，似乎沒那麽容易，這時候如果將原數值的二進制數看作整體，似乎不合理，我們需要將其各位分離，這就用到了位運算。對於當前的問題，有一個求解技巧可以分享給大家，我們都知道在計算機內部兩數的運算用的是補碼實現的，對於正數來說，補碼和原碼形式是一樣的，但對於負數來說，補碼便是將原碼按位取反後在末位加 1 ，這就導致一個負數絕對值的補碼和這個負數的補碼在形式上滿足：以從右向左數第一個非零位為界，在左側，負數絕對值的補碼和負數的補碼各位均不相同，在右側，負數絕對值的補碼和負數的補碼各位均為0，將兩數做 and 運算得到的數字剛好就是我們需要求的 x ，我們知道 負數的絕對值和負數本身互為相反數，同時也說明一個正數的補碼與其相反數的補碼做 and 運算 得到的數字就是 x 。

驗證實例如下：

1 &(-1)補碼運算 : 0001 & 1111 = 0001

2 &(-2)補碼運算 : 0010 & 1110 = 0010

3 &(-3)補碼運算 : 0011 & 1101 = 0001

4 &(-4)補碼運算 : 0100 & 1100 = 0100

5 &(-5)補碼運算 : 0101 & 1011 = 0001

6 &(-6)補碼運算 : 0110 & 1010 = 0010

7 &(-7)補碼運算 : 0111 & 1001 = 0001

8 &(-8)補碼運算 : 1000 & 1000 = 1000

由此，我們得到每次的減數 x ＝i & ( -i )

至此，求 前 n 項和的規律已經找到，我們的任務就是將這個規律用規範的語句描述並嘗試著用代碼實現。

求和具體實現描述如下：

假設 當前求前 i 項 之和

第一步：判斷 i > 0 是否成立。如果成立進行下一步，否則退出循環

第二步：sum = sum + tree[ i ] , x= i &(-i)

第三步：i = i - x ，回到第一步

知道了前 i 項和的求解方法之後，要求解區間和相對來說就容易多了，例如求解區間為 i ～ j ，顯然，我們就可以得知

sum[ i~j ] = sum [ j ] - sum [ i ] 。

解決了前 i 項和的問題之後，現在我們再回過頭來分析單點更新的問題，還是剛才的圖：

假設我們現在要修改的元素在原數據中下標為 3 ，那麽在樹狀數組中，我們需要修改的節點下標分別為 3 、4、8

還是按照剛才的分析方法，在原數據中待修改元素下標為 3 ＝ 0011

在樹狀數組中，需要修改的節點下標為 3 ＝ 0011、4 ＝0100、8 ＝1000，

觀察發現，0011 ＋0001 ＝ 0100 ，0100 ＋0100 ＝ 1000 ，發現規律了嗎？x 值依然是剛才的求法，現在是每次給當前的下標值加 x 就得到下一個加數的下標值，直到下標值大於元素的總個數停止。具體的實例不過多贅述，大家可以自己私下驗證。

單點更新的具體描述如下：(假設更新的規則是給 下標為 i 的元素加 y )

假設待更新元素下標為 i ，元素總個數為 n

第一步：判斷 i <= n 是否成立，成立則進行下一步，不成立結束循環

第二步：tree[ i ] = tree[ i ] + y , x = i & ( -i ) ，進行下一步

第三步：i ＝ i ＋ x ，跳回第一步

以上就是今天內容的理論部分，下面為大家奉上核心代碼實現部分，希望今天的分享能讓大家有收獲。代碼如下：

除了並查集，這應該是見過的最精簡最優雅最高效的代碼了。

還沒有關註公眾號的朋友可以長按下圖識別圖中二維碼關註我。

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樹狀數組（Binary Indexed Tree,BIT）