樹狀數組的基本用法和奇技淫巧

樹狀數組是一種修改查找復雜度都是logN的實用的數據結構，大家應該都會，下面放一張熟的不能再熟的圖裝裝樣子

樹狀數組最基本的操作：單點修改，前綴查詢。原理都懂就不贅述了，貼個代碼。

void add(int pos,int x)
{
    for(;pos<=N;pos+=lowbit(pos))
        c[pos]+=x;
}
int query(int pos)
{
    int sum=0;
    for(;pos;pos-=lowbit(pos))
        sum+=c[pos];
    return
 
 sum;
}    

有一種進階操作，區間修改，單點查詢 。

這就要用到差分——讓一個位置的前綴和等於它的值。所以查單點就就是查前綴和。

那如何修改區間呢， 舉個例子 比如我們讓 區間4 5 7加上3

原數組 　　 1 4 5 7 10 -> 1 7 8 10 10

差分數組 　　1 3 1 2 3 -> 1 6 1 2 0

顯而易見，整個區間加上一個數， 區間內部元素的差是不變的。

在差分數組中，只有這個區間兩頭的數字改變了 (挺好理解的吧)

於是 ， 就可以通過單點修改區間的兩端來進行區間修改了。

代碼的話 基本操作和上面是一樣的，只是意義不同了 ， 唯一不一樣的是讀入的時候存的是差分數組

for(int i=1;i<=N;i++)
{
    cin>>a[i];
    add(i,a[i]-a[i-1]);
}

現在你們可能有一個大膽的想法 ： 怎麽實現區間修改區間查詢

下面就是奇技淫巧時間。 (標題已上線)

還是要用差分數組， 下面我們簡單推個式子。

所以我們就可以開兩個數狀數組， 一個裏面放c[i]，一個裏面放 i×c[i]，就能實現區間查詢了

除了每次修改改的是兩個數組， 其他操作都一樣

下面是代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define
 
 ull unsigned long long 
#define lowbit(a) (a&-a)
#define MAXN 200005 
using namespace std;
int N,M,a[MAXN];
ull c1[MAXN],c2[MAXN];
void add(int pos,ull x)
{
    for(int i=pos;i<=N;i+=lowbit(i))
        c1[i]+=x,c2[i]+=x*pos;
} 
ull sum(int pos)                    //[1,pos]區間和 
{
    ull s=0;
    for(int i=pos;i;i-=lowbit(i))        
        s+=c1[i]*(pos+1)-c2[i];
    return s;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>N;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        cin>>a[i];
        add(i,a[i]-a[i-1]);
    }
    cin>>M;
    while(M--)
    {
        int P,X,Y;
        ull Z;
        cin>>P;
        if(P==1)
        {
            cin>>X>>Y>>Z; 
            add(Y+1,-Z);
            add(X,Z);
        }
        else if(P==2)
        {
            cin>>X>>Y;
            cout<<sum(Y)-sum(X-1)<<endl;
        }
    }
    return 0; 
}

可以到 http://codevs.cn/problem/1082/ 交一下練練手

好了就說這麽多了。

其實， 我想去學線段樹了。。。

樹狀數組的基本用法