軟件環境：MATLAB2013a

一、多項式擬合

多項式擬合是利用多項式最佳地擬合觀測數據，使得在觀測數據點處的誤差平方和最小。

在MATLAB中，利用函數ployfit和ployval進行多項式擬合。

函數ployfit根據觀測數據及用戶指定的多項式階數得到光滑曲線的多項式表示，polyfit的一般調用格式為：P = polyfit(x,y,n)。其中x為自變量，y為因變量，n為多項式階數。

polyval的輸入可以是標量或矩陣，調用格式為

• pv = polyval(p,a)
• pv = polyval(p,A)

其中，p為多項式表示，a為標量，A為矩陣。當輸入參數為M*N矩陣A時，函數返回值pv也是M*N矩陣，且pv(i,j) = polyval(p,A(i,j))。

1，多項式擬合示例：對ln(1+x)在[0,1]的采樣數據作多項式擬合

（1）對ln(1+x)在[0,1]內采樣得到觀測數據x、y。

>> x = 0:0.1:1.0;
>> y = log(1+x);

（2）調用函數polyfit對觀測數據x、y作三階多項式擬合。

>> P = polyfit(x,y,3)

運行結果如下：

P對應的多項式為0.1079 - 0.3974x + 0.9825x² + 0.004x³.

（3）分別作擬合曲線和理論曲線

>> xi = 0:0.01:1.0;
>> yi = polyval(P,xi);   %多項式求值
 
>> plot(x,y,‘ro‘);         %觀測數據點
>> hold on;
>> plot(xi,yi,‘k‘);         %作擬合曲線
>> plot(xi,log(1+xi),‘g‘);    %理論曲線
>> xlabel(‘x‘);
>> ylabel(‘y‘);
>> legend(‘采樣數據‘,‘擬合曲線‘,‘精確曲線‘);

效果如下：

二、指數函數擬合

1，指數函數擬合示例：對 1 - √x 在[0,1]的采樣數據作指數函數擬合。

（1）對 1 - √x 在[0,1]內采樣得到觀測數據 x、y。

>> x = 0:0.01:0.99;
>> y = 1 - sqrt(x);

（2）調用函數polyfit對 x 、lny 作一階多項式擬合。

>> P = polyfit(x,log(y),1)

運行結果如下：

（3）求得擬合曲線。

>> yi = exp(polyval(P,x));

（4）分別作觀測數據點、擬合曲線和理論曲線。

>> yi = exp(polyval(P,x));
>> plot(x,y,‘k.‘);
>> hold on;
>> plot(x,yi,‘r‘);
>> xlabel(‘x‘);
>> ylabel(‘y‘);
>> legend(‘采樣數據‘,‘擬合曲線‘);
>> hold off;

運行結果如下：

（5）分析擬合誤差。

>> e = yi - y;
>> plot(x,e);
>> xlabel(‘x‘);
>> ylabel(‘誤差‘);

運行結果如下：

三、交互式曲線擬合工具

MATLAB為用戶提供了一個交互式曲線擬合工具 Basic Fitting interface。通過該工具，我們無須編寫代碼就可以完成一些常用的曲線擬合。

（1）載入census data數據。

>> load census

此時MATLAB基本工作空間生成兩個double型列向量 cdate 和 pop，cdate 表示1790~1990內10年為間隔的年份，pop為對應年份美國的人口。

>> whos

運行結果如下：

（2）作census data點圖。

>> plot(cdate,pop,‘ko‘);

運行結果如下：

（3）在MATLAB的figure中選擇Tool → Basic Fitting，即得到Basic Fitting interface 界面。

用戶通過Plot fits面板選擇不同的曲線擬合方式，為了便於比較，我們可以選擇多種擬合方式，從而選擇效果最好的一種擬合。

如果某次擬合的效果較差，MATLAB會給出警告，這時用戶可以試著通過 Center and Scale X data 改善擬合效果。

如果Show equations復選框被選中，那麽圖形窗口會顯示擬合方程；如果Plot residuals復選框被選中，那麽擬合效果將顯示誤差余量。此外，還可以選擇不同的顯示類型，如Bar Plot（直方圖）、Scatter Plot（散點圖）、Line Plot（線圖）。

如果Show norm of residuals復選框被選中，那麽誤差余量圖將顯示誤差余量的範數。

單擊，得到如下界面，通過該界面我們能看到擬合的數值結果：

再次單擊，得到如下界面。通過該界面右側的面板，我們可以得到任意點處擬合函數的值，如在編輯框中輸入 2000：10：2080，並單擊Evaluate按鈕，計算結果將顯示在列表框中。如果Plot evaluated result復選框被選中，那麽計算結果將顯示在擬合曲線中。

利用MATLAB進行曲線擬合