10.3 廣州集訓 Day2
T1
1 數學課
程序文件名： number.c/cpp/pas
輸入文件： number.in
輸出文件： number.out
時間限制： 1s
空間限制： 256Mb
題目描述
數學課上，老師在黑板上寫了n個數，然後讓大家做一個遊戲：每次擦掉黑板上的兩個數，然後在黑板上寫下這兩個數的乘積加一，直到最後只有一個數。同學們做了幾次這個遊戲之後，發現最終剩下的數大小不一。同學們十分好奇，但老師說：“如果你們能保證剩下的數比我玩的時候剩下的數要小或者相等，那我就告訴你們原因。”同學們現在十分想知道原因，你能幫幫他們嗎？
輸入格式
第一行有一個正整數n，代表數字的個數。
下一行有n個正整數a1; a2; :::; an，表示老師在黑板上寫下的數。
輸出格式
一個數，表示同學們最後應該剩下的數。對109 + 7取模。
樣例
輸入 輸出
3 15
2 2 3
樣例解釋：先將2和3擦掉，寫下7，再將7和2擦掉，寫下15。
數據範圍
對於20%的數據，n≤8 ，????≤10
對於40%的數據，n≤8
對於100%的數據，n≤200 ，????≤10^9
Solution：
簡單模擬+貪心。
我們可以證明每次去兩個最大的數相乘一定比其余做法優。
可以通過二叉樹說明。
假設a為左圖最小值，則左圖->右圖可以發現右圖更小。
進行類似操作，可以發現最小值通過被替換一直會留在二叉樹中，而最大值則會被擦去。
也就是說，最小值總是最後擦去，而最大值被不斷刪除。
以此類推，每次的做法就是取兩個最大值相乘。
該做法是O（nlogn）。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define MODE 1000000007 4 #define MAXN 205 5 #define ll long long 6 using namespace std; 7 int a[MAXN]; 8 int n; 9 ll ans=0; 10 inline intread(){ 11 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 12 while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} 13 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} 14 return x*f; 15 } 16 bool cmp(int x,int y){return x>y;} 17 int main(){ 18 freopen("number.in","r",stdin); 19 freopen("number.out","w",stdout); 20 n=read(); 21 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); 22 sort(a+1,a+n+1,cmp); 23 //for(int i=1;i<=n;i++) printf("a[i]=%d\n",a[i]); 24 ans=a[1]; 25 for(int i=2;i<=n;i++){ 26 ans*=a[i];ans+=1;ans%=MODE; 27 } 28 printf("%d",ans); 29 return 0; 30 }
T2
遺傳病（disease,2s,256M）
【題目描述】
眾所周知，近親結婚的後代患遺傳病的概率會大大增加。如果某一基因按常染色體隱性遺傳方式，其子女就可能因為是突變純合子而發病。因此，近親婚配增加了某些常染色體隱性遺傳疾病的發生風險。
現在有n個人，每個人都有一個遺傳特征值a_i,假設第i個人和j個人結婚，那麽風險系數為gcd?(a_i,a_j)，法律規定只有風險系數為1時兩個人才能結婚。
F同學開了一個婚姻介紹所，這n個人可能會來登記，當然也有可能登記後取消，也有可能取消後再登記。F同學的任務就是，求出當前所有登記的人中，有多少對人是可以結婚的。
剛開始所有人都沒有登記。
為出題需要，不考慮性別，基因突變和染色體變異等QAQ。
【輸入格式】
從disease.in中讀入。
第一行兩個整數n和q，n表示人數，q表示登記和登出的總次數。
第二行n個整數a_1,a_2,…,a_n,意義如上所述。
接下來q行，每行一個整數x。如果當前第x個人沒有登記，那麽第x個人登記；如果當前第x個人已經登記了，那麽其取消登記。
【輸出格式】
輸出到disease.out中。
一共q行，第i行表示第i個操作後，當前所有登記的人中有多少對人是可以結婚的。
【樣例一輸入】
5 6
1 2 3 4 6
1
2
3
4
5
1
【樣例一輸出】
0
1
3
5
6
2
【子任務】
30%數據，1<=n,q<=1000
100%數據，1<=n,q<=100000，1<=ai<=500000
Solution：
本題考察容斥原理。
30%數據，每加入或刪除一個數，掃一下已經登記的人求一下gcd即可，時間復雜度O(n^2)
100%數據，考慮容斥原理。
比如加入一個數30，那麽60的質因數集合為{2,3,5}（重復的去掉）
兩個數互質等價於質因數集合交集問空集。
記|S|為當且已登記的人中質因數集合的子集有S的人數，其中S是一個質因數集合
特別地，記|{1}|=當前已登記的人數
與30互質的個數=|{1}|-|{2}|-|{3}|-|{5}|+|{2,3}|+|{2,5}|+|{3,5}|-|{2,3,5}|
因為2*3*5*7*11*13*17=510510>500000，所以每個數最多只有6個質因數（重復的去掉）
2^6=64，時間復雜度為O(64n)。
Other：
還沒有A。
本題也是莫比烏斯反演。
1 //std 2 #include<cstdio> 3 #include<cstdlib> 4 #include<cassert> 5 #include<iostream> 6 #include<fstream> 7 #include<algorithm> 8 #include<cstring> 9 #include<string> 10 #include<cmath> 11 #include<queue> 12 #include<stack> 13 #include<map> 14 #include<utility> 15 #include<set> 16 #include<bitset> 17 #include<vector> 18 #include<functional> 19 #include<deque> 20 #include<cctype> 21 #include<climits> 22 #include<complex> 23 #include<bits/stdc++.h> 24 #include<ctime> 25 #include<ext/rope> 26 27 using namespace __gnu_cxx; 28 using namespace std; 29 30 typedef long long LL; 31 typedef double DB; 32 typedef pair<int,int> PII; 33 typedef pair<DB,DB> PDD; 34 typedef complex<DB> CP; 35 typedef vector<int> VI; 36 37 #define mmst(a,v) memset(a,v,sizeof(a)) 38 #define mmcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a)) 39 #define fill(a,l,r,v) fill(a+l,a+r+1,v) 40 #define re(i,a,b) for(i=(a);i<=(b);i++) 41 #define red(i,a,b) for(i=(a);i>=(b);i--) 42 #define fi first 43 #define se second 44 #define mp(a,b) make_pair(a,b) 45 #define pb(a) push_back(a) 46 #define two(k) (1<<(k)) 47 #define SZ(x) (int(x.size())) 48 #define all(x) (x).begin(),(x).end() 49 #define ire(i,v,x) for(i=0,v=i<SZ(x)?x[i]:0;i<SZ(x);v=x[++i]) 50 #define ls (rt<<1) 51 #define rs (rt<<1|1) 52 #define MID ((l+r)>>1) 53 54 template<class T>inline T sqr(T x){return x*x;} 55 template<class T>inline void upmin(T &t,T tmp){if(t>tmp)t=tmp;} 56 template<class T>inline void upmax(T &t,T tmp){if(t<tmp)t=tmp;} 57 58 inline int sgn(DB x){if(abs(x)<1e-9)return 0;return(x>0)?1:-1;} 59 const DB Pi=acos(-1.0); 60 61 //void enlargestack(){int size=256<<10;char *p=(char*)malloc(size)+size;__asm__("movl %0, %%esp\n"::"r"(p));} 62 63 int gint() 64 { 65 int res=0;bool neg=0;char z; 66 for(z=getchar();z!=EOF && z!=‘-‘ && !isdigit(z);z=getchar()); 67 if(z==EOF)return 0; 68 if(z==‘-‘){neg=1;z=getchar();} 69 for(;z!=EOF && isdigit(z);res=(res<<3)+(res<<1)+z-‘0‘,z=getchar()); 70 return (neg)?-res:res; 71 } 72 LL gll() 73 { 74 LL res=0;bool neg=0;char z; 75 for(z=getchar();z!=EOF && z!=‘-‘ && !isdigit(z);z=getchar()); 76 if(z==EOF)return 0; 77 if(z==‘-‘){neg=1;z=getchar();} 78 for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-‘0‘,z=getchar()); 79 return (neg)?-res:res; 80 } 81 82 const int maxn=210000; 83 const int maxm=510000; 84 85 int n,q,m; 86 int a[maxn]; 87 int cnt,flag[maxm],prime[maxm],p[maxm]; 88 vector<int> b[maxn]; 89 int in[maxn]; 90 int table[maxm]; 91 LL res; 92 93 void init() 94 { 95 int i,j; 96 re(i,2,m) 97 { 98 if(!flag[i])prime[++cnt]=i; 99 for(j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=m;j++) 100 { 101 flag[i*prime[j]]=1; 102 p[i*prime[j]]=prime[j]; 103 if(i%prime[j]==0)break; 104 } 105 } 106 re(i,1,n) 107 { 108 int x=a[i]; 109 while(x!=1) 110 { 111 int t=flag[x]?p[x]:x; 112 b[i].pb(t); 113 while(x%t==0)x/=t; 114 } 115 } 116 } 117 118 void dfs(int x,int k,int mult,int f) 119 { 120 if(k==SZ(b[x])) 121 { 122 res+=in[x]==1?table[mult]*in[x]*f:(table[mult]-1)*in[x]*f; 123 table[mult]+=in[x]; 124 return; 125 } 126 dfs(x,k+1,mult*b[x][k],-f); 127 dfs(x,k+1,mult,f); 128 } 129 130 int main() 131 { 132 freopen("disease.in","r",stdin); 133 freopen("disease.out","w",stdout); 134 int i; 135 n=gint();q=gint(); 136 re(i,1,n)a[i]=gint(),upmax(m,a[i]); 137 init(); 138 fill(in,1,n,1); 139 while(q--) 140 { 141 int x=gint(); 142 dfs(x,0,1,1); 143 in[x]=-in[x]; 144 printf("%I64d\n",res); 145 } 146 return 0; 147 }
T3
瓜分領土（2s,512MB）
石頭、剪刀和布鬧別扭了，他們要分家。
他們生活在一個離散的一維空間裏，簡單點說，他們擁有在一條直線上的N間房子，每間房子有一個風水值（有正有負）。
然後，他們決定將這N間房子分成非空的三個連續段，從左到右數，第一段的房子全部屬於石頭，第二段的房子全部屬於剪刀，第三段的房子全部屬於布。
由於他們希望公平，並且又由於剪刀是他們的老大哥，他們決定根據這些條件制定了一個評判標準：
設石頭擁有的房子的風水值和為a，剪刀擁有的房子的風水值和為b，布擁有的房子的風水值和為c，剪刀擁有n間房子。
那麽通過給定一個參數x。
那麽，這種分配的合理值就是max(a,b,c)-min(a,b,c)+x*n.
合理值越小，表示這種分配越合理。
因此，我們現在就是要求出這個最小的合理值。
輸入格式
第一行一個正整數N。
第二行有N個整數，表示房子的風水值，按從左到右的順序給出。
第三行一個整數x。
輸出格式
一行一個整數，表示最小的合理值。
輸入樣例：
4
1 1 1 1
-1
輸出樣例：
-1
數據範圍：
對於30%的數據，N<=10.
對於70%的數據，N<=1000.
對於100%的數據，N<=100000,保證所有運算結果在long long範圍內。
Solution：
線段樹+二分+離散+枚舉+數學結論。
留坑。以及正解寫掛60<暴力O（n^2)的慘案。
10.3 廣州集訓 Day2