平面最近點對問題正如其名，給定平面上的$n$個點，找出其中的一對點，使得這對點的距離在所有點對中最小。

首先顯而易見地我們可以得到這個問題的$O(n^2)$算法，枚舉所有點對即可。但是很顯然我們可以註意到，這裏面有很多點對顯然不是最優的，那麽我們可以想到一種剪枝方法，就是將只對x坐標差值小於當前已知最小值的點對進行判斷（否則必然不是最優解），從而減少判斷量。

我們考慮使用分治來實現這種剪枝，先將平面上的點分為兩部分，分治求出兩部分內部的最近點對距離。之後我們要做的就是枚舉兩個集合之間的點對，並與兩部分內部的最近點對距離比較來得到最近點對距離。這裏我們是不需要枚舉所有點對的，因為我們已經得到了一個兩部分各自內部最小的點對距離，因而我們可以結合上面的根據$x$坐標的剪枝方法，只枚舉分別屬於兩部分的$x$坐標差小於已知最小距離的點對。

這樣做的復雜度近似於$O(n\log^2n)$，至於怎麽得到的……我也不知道。_(:зゝ∠)_

例題：

1. Vijos 1012 清帝之惑之雍正

鏈接：https://vijos.org/p/1011

2. 平面最近點對（加強版）

鏈接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1429

另外附上模板：

註意，本模板保留六位小數，不能直接用於提交上面的例題，若要提交請修改輸出精度。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdlib>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5
 
 #include <string>
 6 #include <sstream>
 7 #include <cctype>
 8 #include <cmath>
 9 #include <algorithm>
10 #define THE_BEST_PONY "Rainbow Dash"
11 
12 using namespace std;
13 const int maxn=220000,INF=~0u>>1;
14 
15 struct Point{
16     double x,y;
17     bool operator
 
 < (const Point &a) const {
18         if(x<a.x) return true;
19         if(x>a.x) return false;
20         return y<a.y;
21     }
22 }p[maxn];
23 
24 int n;
25 double ans;
26 
27 double DisP(int a,int b){
28     return sqrt((p[a].x-p[b].x)*(p[a].x-p[b].x)+(p[a].y-p[b].y)*(p[a].y-p[b].y)); 
29 }
30 
31 double GetAns(int l,int r){
32     int mid=(l+r)>>1;
33     if(l==r) return INF;
34     if(l==r-1) return DisP(l,r);
35     double len=min(GetAns(l,mid),GetAns(mid+1,r));
36     for(int i=mid;i>=l;i--){
37         if(p[i].x+len<p[mid].x) break;
38         for(int j=mid+1;j<=r;j++){
39             if(p[mid].x+len<p[j].x) break;
40             len=min(len,DisP(i,j));
41         }
42     }
43     return len;
44 }
45 
46 int main(){
47     scanf("%d",&n);
48     for(int i=0;i<n;i++)
49         scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
50     sort(p,p+n);
51     ans=GetAns(0,n-1);
52     printf("%.6lf",ans);
53     return 0;
54 }

清帝之惑之雍正

平面最近點對問題