P2659 美麗的序列

題目背景

GD是一個熱衷於尋求美好事物的人，一天他拿到了一個美麗的序列。

題目描述

為了研究這個序列的美麗程度，GD定義了一個序列的“美麗度”和“美麗系數”：對於這個序列的任意一個區間[l，r]，這個區間的“美麗度”就是這個區間的長度與這個區間的最小值的乘積，而整個序列的“美麗系數”就是它的所有區間的“美麗度”的最大值。現在GD想要你幫忙計算這個序列的“美麗系數”。

輸入輸出格式

第一行一個整數n，代表序列中的元素個數。 第二行n個整數a1、a2„an，描述這個序列。

一行一個整數，代表這個序列的“美麗系數”。

輸入輸出樣例

3 
1 2 3

4

說明

樣例解釋 選取區間［2，3］，可以獲得最大“美麗系數”為2*2=4。 數據範圍 對於20%的數據，n<=2000； 對於60%的數據，n<=200000； 對於100%的數據，1<=n<=2000000，0<=ai<=2000000。 提示 你可能需要一個讀入優化。

做法1

分析

我的天啊，第二個測試點964ms卡過。。。（再交一次就不一定過了。。。90）

然後寫一下思路吧：

用線段樹logn找出最小值，以及最小值的位置，

包含最小值的所有區間的最大值，應該是區間長度最長的。

當前區間[l,r]，最小值mn,它的位置pos,

包含最小值：[l,r]的答案就是mn*(r-l+1)

不包含最小值：將[l,r]分成兩段，[l,pos-1],[pos+1,r]在這兩個區間遞歸，像上面這樣做。詳見代碼

（笛卡爾樹）

code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3
 
 using namespace std;
 4 #define lson l,m,rt<<1
 5 #define rson m+1,r,rt<<1|1
 6 #define INF 0x7fffffff
 7 #define MAXN 2000100
 8 #define LL long long
 9 struct MN {
10     int mn,pos;
11 }t[MAXN<<2];
12 LL ans = 0;
13 int n;
14 inline int read() {
15     int x = 0,f = 1;char ch = getchar();
16     for (; ch<‘0‘||ch>‘9‘; ch = getchar())
17         if (ch==‘-‘) f = -1;
18     for (; ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘; ch = getchar())
19         x = x*10+ch-‘0‘;
20     return x*f;
21 }
22 inline void pushup(int rt) {
23     if (t[rt<<1].mn < t[rt<<1|1].mn) t[rt].mn = t[rt<<1].mn, t[rt].pos = t[rt<<1].pos;
24     else t[rt].mn = t[rt<<1|1].mn, t[rt].pos = t[rt<<1|1].pos;
25 }
26 void build(int l,int r,int rt) {
27     if (l==r) {
28         t[rt].mn = read();
29         t[rt].pos = l;
30         return;
31     }
32     int m = (l+r)>>1;
33     build(lson);
34     build(rson);
35     pushup(rt);
36 }
37 MN query(int l,int r,int rt,int L,int R) {
38     if (L<=l && r<=R) {
39         return t[rt];
40     }
41     int m = (l+r)>>1;
42     MN t,ret;
43     ret.mn = INF;
44     if (L<=m) ret = query(lson,L,R);
45     if (R>m)  {
46         t = query(rson,L,R);
47         if (t.mn < ret.mn) ret = t;
48     } 
49     return ret;
50 }
51 void solve(int l,int r) {
52     MN m = query(1,n,1,l,r);
53     ans = max(ans,1ll*(r-l+1)*m.mn);
54     if (l<m.pos) solve(l,m.pos-1);
55     if (m.pos<r) solve(m.pos+1,r);
56 }
57 int main() {
58     n = read();
59     build(1,n,1);
60     solve(1,n);
61     printf("%lld",ans);    
62     return 0;
63 }

做法2

分析

分別求出每個元素向左和向右擴展的最大長度

最後每個元素獲得的最大值等於（向左延伸的長度 + 向右延伸的長度 + 1）* 元素的值

使用單調棧可以O(n)算出。

code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 #define INF 0x7fffffff
 7 #define MAXN 2000100
 8 #define LL long long
 9 
10 int st[MAXN],pos[MAXN],a[MAXN],top,R[MAXN];
11 
12 inline int read() {
13     int x = 0,f = 1;char ch = getchar();
14     for (; ch<‘0‘||ch>‘9‘; ch = getchar())
15         if (ch==‘-‘) f = -1;
16     for (; ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘; ch = getchar())
17         x = x*10+ch-‘0‘;
18     return x*f;
19 }
20 
21 int main() {
22     
23     int n = read();
24     LL ans = 0,sum;
25     for (int i=1; i<=n; ++i) a[i] = read();
26     
27     a[0] = a[n+1] = -1;
28     st[(top=0)] = 0;
29     for (int i=1; i<=n+1; ++i) {
30         while (a[st[top]] > a[i]) {
31             R[st[top]] = i-1;
32             top--;
33         }
34         st[++top] = i;
35     }
36     
37     st[(top=0)] = 0;
38     for (int i=n; i>=0; --i) {
39         while (a[st[top]] > a[i]) {
40             sum = 1ll*(R[st[top]]-i)*a[st[top]];//right R[],left i+1 R-(i+1)+1->R-i
41             ans = max(ans,1ll*(R[st[top]]-i)*a[st[top]]); 
42             top--;
43         }
44         st[++top] = i;
45     }
46     
47     printf("%lld",ans);
48     
49     return 0;
50 } 

P2659 美麗的序列