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本題是一個運動學問題——勻變速運動。

一個質點，從靜止開始運動。按照速度限制，可將運動劃分成n個階段，第i個階段的時間為t_i s，速度上限為v_i m/s。已知這個質點的加速度大小只取0或±1m/s²。以及，質點在最初和最終的時刻速度為0。求質點的最大位移。

以下變量均采用國際單位制。

對於運動某一個階段（例如第i個階段），可以分成三個子階段：勻加速運動、勻速運動和勻減速運動。記三個子階段的時間分別為inc、kep、dec，則inc+kep+dec=t[i]。記下一個階段的限速為lim，則：

1. 勻加速階段：inc=
   min{vi-cur,(lim+t[i]-cur)/2,t[i]}；
2. 勻減速階段：dec=max{0,cur+inc-lim}；
3. 勻速階段：kep=t[i]-inc-dec。

於是，分別對這三段時間計算位移，求和即可。時間復雜度為O(n²)，空間復雜度為O(n)。

參考程序如下：

#include <stdio.h>
#define MAX_N 101

double t[MAX_N], v[MAX_N];

double max(double a, double b)
{
    return a > b? a: b;
}

double min(double a, double
 
 b)
{
    return a < b? a: b;
}

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf", &t[i]);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf", &v[i]);
    double cur = 0.;
    double ans = 0.;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        
 
double inc, kep, dec;
        double lim = 1.E8;
        double tmp = 0.;
        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            lim = min(lim, v[j] + tmp);
            tmp += t[j];
        }
        inc = min(v[i] - cur, (lim + t[i] - cur) * .5);
        inc = min(inc, t[i]);
        dec = max(0., cur + inc - lim);
        kep = t[i] - inc - dec;
        ans += .5 * (cur * 2. + inc) * inc;
        ans += (cur + inc) * kep;
        ans += .5 * ((cur + inc) * 2. - dec) * dec;
        cur += inc;
        cur -= dec;
    }
    printf("%f\n", ans);
    return 0;
}

本題也可以從以下角度考慮：

僅考慮一個區間：若在時間區間[l,r]上的速度上限為v，則在整個時間區間[0,T]上，速度上限函數為

$$f(t)=\begin{cases} v+(l-t),0\le t<l\\v,l\le t\le r\\v+(t-r),r<t\le T\end{cases}$$

其中，$T=\sum_{i=1}^{n}t_i$。

對於階段i，對應的時間區間為$[\sum_{j=1}^{i-1}t_j , \sum_{j=1}^{i}t_j ]$，速度上限為v_i，相應的速度上限函數記為f_i(t)。考慮所有的區間，則速度上限函數為$f(t)=\min\{t,T-t,f_{i}(t)|1\le i\le n\}$。

由於v_i、t_i均是正整數，因此可以將t軸的最小單位設置為Δt=0.5s。可以假定從0時刻開始，在每一個Δt=0.5s內，質點的加速度是恒定的。則以Δt=0.5s為單位，用f(t)刻畫質點運動的v-t圖像，並用加速度的限制條件修正v(t)。通過質點運動的v-t圖像計算其最大位移（即v-t曲線與t軸圍成的圖形面積）。時間復雜度為O(nT)，空間復雜度為O(n+T)。

參考程序如下：

#include <stdio.h>
#define MAX_N 100
#define MAX_T 40000

int t[MAX_N];
double v[MAX_N], f[MAX_T];

double min(double a, double b)
{
    return a < b? a: b;
}

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &t[i]);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf", &v[i]);
    for (int i = 0; i < MAX_T; i++)
        f[i] = 1.E8;
    int tot = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        t[i] *= 2;
        for (int j = tot; j <= tot + t[i]; j++)
            f[j] = min(f[j], v[i]);
        tot += t[i];
    }
    f[0] = f[tot] = 0.;
    for (int i = 1; i <= tot; i++)
        f[i] = min(f[i], f[i - 1] + .5);
    for (int i = tot - 1; i >= 0; i--)
        f[i] = min(f[i], f[i + 1] + .5);
    double ans = 0.;
    for (int i = 0; i < tot; i++)
        ans += .25 * (f[i] + f[i + 1]);
    printf("%f\n", ans);
    return 0;
}

ABC 076D - AtCoder Express