TopCoder SRM 560 Div 1 - Problem 1000 BoundedOptimization & Codeforces 839 E
傳送門：https://284914869.github.io/AEoj/560.html
題目簡述：
定義"項"為兩個不同變量相乘。
求一個由多個不同"項"相加，含有n個不同變量的式子的最大值。
另外限制了每一個變量的最大最小值R[i]和L[i]和所有變量之和的最大值Max。
n<=13
題外話：
剛開始做這道題的時候，感覺意外眼熟？
codeforces 839 E（此題的退化版）:http://codeforces.com/contest/839/problem/E
所以這裏將介紹兩道題的做法（證明）。
先來看
codeforces 839E
題意：給出一個圖的鄰接矩陣，要求給每個點賦一個>=0的值，使得點權和為K
結論：最大化邊權就是要將k均分給圖中的最大團中的點。
證明：codeforces上給出了一種數學歸納法的證明:http://codeforces.com/blog/entry/53815
但這裏將介紹一種新的證明方法：
首先，現在有一種分配點權的方案，
a.對於兩個點a,b，假設之間沒有邊，且與a點相連的點權和為sa，與b點相連的點權和為sb。
再假設當前a的點權為pa，b的點權為pb。
因為全部的點權和=k，所以要維持pa+pb = 一個定值。
這兩個點對答案的貢獻是pa*sa+pb*sb
若sa>=sb，那麽(pa+pb)*sa+0*sb >= pa*sa+pb*sb，對答案的貢獻更大。所以把b的點權降為0更優。
若sa<=sb，那麽0*sa+(pa+pb)*sb >= pa*sa+pb*sb，對答案的貢獻更大。所以把a的點權降為0更優。
由此可見，存在一種最優的分配方案，任意不相連的兩個點，其中至少有一個點點權為0。
b.由a得到的結論可得，最優分配方案中，所有點權>0的點之間，兩兩都有邊（即團）。
我們來證明這個團中，每個點的點權相同。
我們先給這個團中的每個點隨機賦一個權值（滿足權值和=k）。
若在這個團中並不是每個點的點權相同：
假設在這個團中，a,b權值pa不等於pb。（a與b相連）
設與a點相連的點權和（包括pb）為sa = k-pa，與b點相連的點權和（包括pa）為sb = k-pb
假設把a的點權變為pa+t，b的點權變為pb-t對邊的權值和的貢獻最大。
這時，邊的權值和的變化量為 t*(sa-pb) - t*(sb-pa) + (pa+t)*(pb-t) - pa*pb = - t*t + t*(sa-sb)
那麽這變成了一個二次函數最值問題（初中知識吧。。）
t=(sa-sb)/2=(pb-pa)/2的時候最優。
此時a權從pa-->(pa+pb)/2，b權從pb-->(pa+pb)/2。即pa,pb變為了它們的平均數。
所以，可以對這個團進行若幹個這樣的操作，
每次取兩個權值不相同的點，把它們的權值設為它們的平均數。
最終的最優方案，一定是每個點點權相同。
c.接下來我們證明，最大團最優。
若團的大小為s。邊的權值和為
s越大越好。
TopCoder SRM 560 Div 1 - Problem 1000 BoundedOptimization
終於回到正題了。。。
若兩個變量的乘積對答案有貢獻，就將這兩個點之間連一條邊。與上題類似，唯一的區別就是：
L[i],R[i],Max的限制。並且，數據範圍變小。
其實證明方法類似。
a.存在一種最優的分配方案，任意不相連的兩個點，其中至少有一個點點權為為L[i]或R[i]。
證明方法同上。
b.就不一樣了
由a得到的結論可得，最優分配方案中，所有點權大於L[i],小於R[i]的點之間，兩兩都有邊（即團）。
這裏，設團中的點權和為tot。
設團中某兩個點a,b（設點權分別為pa,pb，設pa+pb=S）
設a,b連向團外的點權和分別為Wa,Wb
這兩個點對答案的貢獻是pa*pb + pa*(tot-S+Wa) + pb*(tot-S+Wb) = -pa^2 + pa*(S+Wa-Wb) + S*(tot-S+Wb)
又是一個二次函數最值問題。
pa = (S+Wa-Wb)/2，pb = (S+Wb-Wa)/2時
（除非pa或pb不在L到R範圍內，此時pa或pb有一項為L或R時更優，則a或b不會在團內，所以不考慮這種情況）
最優。
考慮pa和pb的特點：pa-Wa = (S-Wa-Wb)/2， pb-Wb = (S-Wa-Wb)/2。
於是pa - Wa = pb - Wb
所以這個團中的每一個點，pi - Wi是一個定值。
c.如何求解
一個很簡單的思路出來了。
枚舉哪些點權為L[i]，哪些點權為R[i]，其余點形成團。
這個枚舉的過程是3^n
這個基礎上求解，
對於團中的每一個點，可以輕易地求出W[i]（定義見b）
也可以知道團的點權和 <= 一個值。設團的點權和 <= sum
由b的結論可得：團中p[i] - W[i]是一個定值。
設p[i] - W[i] = C
又p[i] = C+W[i] <= R[i]，所以C <= R[i] - W[i]。
p[i] = C+W[i] >= L[i]，所以C >= L[i] - W[i]。
同時sigma{p[i]}<=sum，所以sigma{ C+W[i] }<=R[i]。
由於點權總體越大越好，所以C越大越好。解上述不等式，求出最大的C。
最後求出在這種情況下圖的邊權和，更新答案，便做完了！
真是道好題！
註：可能我的方法不太優秀，歡迎各位大佬在評論區給出更方便的做法
這裏給出代碼：
1 #include <cstdio> 2 #include <string> 3 #include <vector> 4 #include <cstring> 5 #include <iostream> 6 #include <algorithm> 7 using namespace std; 8 #define _CLASSNAME_ BoundedOptimization 9 #define _METHODNAME_ maxValue 10 #define _RC_ double 11 #define _METHODPARMS_ vector <string> s, vector <int> L, vector <int> R, int maxSum 12 #define ref(i,x,y)for(int i=x;i<=y;++i) 13 #define def(i,x,y)for(int i=x;i>=y;--i) 14 double tot, Ans; 15 int n, maxsum, w[13], W[13]; 16 struct xint { int L, R; }p[13]; 17 bool a[13][13]; 18 bool isletter(char c) { return c >= ‘a‘&&c <= ‘z‘; } 19 double _min(double a, double b) { return a < b ? a : b; } 20 void work(int x) { 21 if (maxsum < 0)return; 22 if (x == n) { 23 double tmp = 2e9; int num = 0, sum = 0; 24 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)tmp = _min(tmp, p[i].R - W[i]), ++num, sum += W[i]; 25 tmp = _min(tmp, 1.0*(maxsum - sum) / num); 26 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)if (tmp + W[i] < p[i].L)return; 27 double ans = tot, ans2 = (sum + num*tmp)*(sum + num*tmp); 28 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)ans += (tmp + W[i])*W[i]; 29 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)ans2 -= (tmp + W[i])*(tmp + W[i]); 30 ans = ans + ans2 / 2; 31 if (ans > Ans)Ans = ans; 32 return; 33 } 34 int tmp = tot; 35 //first case 36 w[x] = p[x].L; 37 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] += w[x]; 38 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])tot += w[i] * w[x]; 39 maxsum -= w[x]; work(x + 1); maxsum += w[x]; 40 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] -= w[x]; 41 tot = tmp; 42 //second case 43 w[x] = p[x].R; 44 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] += w[x]; 45 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])tot += w[i] * w[x]; 46 maxsum -= w[x]; work(x + 1); maxsum += w[x]; 47 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] -= w[x]; 48 tot = tmp; 49 //third case 50 w[x] = -1; W[x] = 0; 51 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && !a[x][i])return; 52 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])W[x] += w[i]; 53 work(x + 1); 54 W[x] = 0; 55 } 56 class _CLASSNAME_ { 57 public: 58 _RC_ _METHODNAME_(_METHODPARMS_) 59 { 60 string S = ""; 61 memset(a, 0, sizeof a); 62 memset(W, 0, sizeof W); 63 memset(w, 0, sizeof w); 64 Ans = 0; tot = 0; 65 ref(i, 0, s.size() - 1)S = S + s[i]; 66 ref(i, 0, S.size() - 2)if (isletter(S[i]) && isletter(S[i + 1])) 67 a[S[i] - ‘a‘][S[i + 1] - ‘a‘] = a[S[i + 1] - ‘a‘][S[i] - ‘a‘] = 1; 68 n = L.size(); 69 ref(i, 0, n - 1)p[i].L = L[i], p[i].R = R[i]; 70 maxsum = maxSum; 71 work(0); 72 return _RC_(Ans); 73 } 74 // BEGIN CUT HERE 75 public: 76 void run_test(int Case) { if ((Case == -1) || (Case == 0)) test_case_0(); if ((Case == -1) || (Case == 1)) test_case_1(); if ((Case == -1) || (Case == 2)) test_case_2(); if ((Case == -1) || (Case == 3)) test_case_3(); } 77 private: 78 template <typename T> string print_array(const vector<T> &V) { ostringstream os; os << "{ "; for (typename vector<T>::const_iterator iter = V.begin(); iter != V.end(); ++iter) os << ‘\"‘ << *iter << "\","; os << " }"; return os.str(); } 79 void verify_case(int Case, const double &Expected, const double &Received) { cerr << "Test Case #" << Case << "..."; if (Expected == Received) cerr << "PASSED" << endl; else { cerr << "FAILED" << endl; cerr << "\tExpected: \"" << Expected << ‘\"‘ << endl; cerr << "\tReceived: \"" << Received << ‘\"‘ << endl; } } 80 void test_case_0() { string Arr0[] = { "ba+cb" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 0,0,1 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 1,2,1 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 3; double Arg4 = 2.25; verify_case(0, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); } 81 void test_case_1() { string Arr0[] = { "ab" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 0, 0, 10 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 20, 20, 20 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 12; double Arg4 = 1.0; verify_case(1, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); } 82 void test_case_2() { string Arr0[] = { "ca+fc+fa+d","b+da+","dc+c","b","+ed+eb+ea" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 10,11,12,13,14,15 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 15,16,17,18,19,20 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 85; double Arg4 = 2029.25; verify_case(2, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); } 83 void test_case_3() { 84 string Arr0[] = { "db+ea+ik+kh+je+","fj+lk+i","d+jb+h","a+gk+mb+ml+lc+mh+cf+fd+","gc+ka+gf+bh+mj+eg+bf+hf+l","b+al+ja+da+i", 85 "f+g","h+ia+le+ce+gi+d","h+mc+fe+dm+im+kb+bc+","ib+ma+eb+mf+jk+kc+mg+mk+","gb+dl+ek+hj+dg+hi","+ch+ga+ca+fl+ij+fa+jl+dc+dj+fk","+li+jg" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 57,29,50,21,49,29,88,33,84,76,95,55,11 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 58,80,68,73,52,84,100,79,93,98,95,69,97 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 845; double Arg4 = 294978.3333333333; verify_case(3, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); 86 } 87 88 // END CUT HERE 89 }; 90 // BEGIN CUT HERE 91 92 int main() { 93 _CLASSNAME_ user; 94 user.run_test(-1); 95 getchar(); 96 } 97 // END CUT HERE
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