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關於異或^的用法 [轉載]

con 計算 could [] integer 一位 complex appears 頭上

轉自:https://www.lijinma.com/blog/2014/05/29/amazing-xor/

什麽是異或?

Wikipedia的解釋:

在邏輯學中,邏輯算符異或(exclusive or)是對兩個運算元的一種邏輯析取類型,符號為 XOR 或 EOR 或 ⊕(編程語言中常用^)。但與一般的邏輯或不同,異或算符的值為真僅當兩個運算元中恰有一個的值為真,而另外一個的值為非真。轉化為命題,就是:“兩者的值不同。”或“有且僅有一個為真。”

定義:

1 ⊕ 1 = 0

0 ⊕ 0 = 0

1 ⊕ 0 = 1

0 ⊕ 1 = 1

真值表:

YB = 0B = 1
A = 0 0 1
A = 1 1 0

表達式:

Y = A’ · B + A · B’

解釋:我使用·作為,我使用+作為,我使用作為(本來應該使用頭上一橫,但是太難編輯了,就使用了);

異或有什麽特性?

根據定義我們很容易獲得異或兩個特性:

恒等律:X ⊕ 0 = X 歸零律:X ⊕ X = 0

然後我們使用真值表可以證明:

(1)交換律

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A ⊕ B = A‘ · B + A · B‘

B ⊕ A = B‘ · A + B · A‘

因為·與+或兩個操作滿足交換律,所以:

A ⊕ B = B ⊕ A

(2)結合律

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(A ⊕ B) ⊕ C

= (A‘ · B + A · B‘) ⊕ C

= (A‘ · B + A · B‘)‘ · C + (A‘ · B + A · B‘) · C ‘

= ((A‘ · B)‘ · (A · B‘)‘)· C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

= ((A + B‘) · (A‘ + B))· C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

= (A · B + A‘ · B‘) · C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

= A · B · C + A‘ · B‘ · C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

你可以使用同樣推導方法得出(請允許我偷懶一下,數學公式敲起來不容易 +_+):

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A ⊕ (B ⊕ C)

= A · B · C + A‘ · B‘ · C + A‘ · B · C ‘ + A · B‘ · C ‘

證明過程中使用了如下幾個方法(·與 +或 ‘否):

·與 +或交換律:

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A · B = B · A

A + B = B + A

·與 +或結合律:

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(A · B) · C = A · (B · C)

(A + B) + C = A + (B + C) 

·與 +或分配律:

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A · (B + C)= A · B + A · C

A + B · C = (A + B) · (A + C)

摩爾定理:

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(A · B)‘ = A‘ + B‘

(A + B)‘ = A‘ · B‘

結論:

交換律:A ⊕ B = B ⊕ A 結合律:A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C

有了歸零率結合律,我們就可以輕松證明:

自反:A ⊕ B ⊕ B = A ⊕ 0 = A

可能這些特性會很順其自然的理解,但是如果你在解決問題的時候,你可能會忘記異或的這些特性,所以適當的應用可以讓我們加深對異或的理解;

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A ⊕ 1 = A‘;
A ⊕ 0 = A;
A ⊕ A = 0;
A ⊕ A‘ = 1;

異或有什麽神奇之處(應用)?

說明:以下的的異或全部使用符號^

可能你已經被亂七八糟的公式和演算搞的有點煩了,不就是很簡單的異或運算嗎?還解釋的那麽復雜,嘿嘿,不要著急,打好了基礎,你就站在了巨人的肩膀,讓我們開始異或的神奇之旅吧;

(1)快速比較兩個值

先讓我們來一個簡單的問題;判斷兩個int數字a,b是否相等,你肯定會想到判斷a - b == 0,但是如果判斷a ^ b == 0效率將會更高,但是為什麽效率高呢?就把這個給你當家庭作業吧,考慮下減法是如何實現的; 讓我們看看ipv6中的比較;

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static inline int ipv6_addr_equal(const struct in6_addr *a1, const struct in6_addr *a2)
    {
    return (((a1->s6_addr32[0] ^ a2->s6_addr32[0]) |
        (a1->s6_addr32[1] ^ a2->s6_addr32[1]) |
        (a1->s6_addr32[2] ^ a2->s6_addr32[2]) |
        (a1->s6_addr32[3] ^ a2->s6_addr32[3])) == 0);
    }

(2)在匯編語言中經常用於將變量置零:xor a,a

(3)我們可以使用異或來使某些特定的位翻轉,因為不管是0或者是1與1做異或將得到原值的相反值;

0 ^ 1 = 1

1 ^ 1 = 0

例如:翻轉10100001的第6位, 答案:可以將該數與00100000進行按位異或運算;10100001 ^ 00100000 = 10000001

我們給出一段常用的代碼:

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unsigned int a, b, mask = 1 << 6;
a = 0xB1; // 10100001
b = a ^ mask; /* flip the 6th bit */

(4)我們使用異或來判斷一個二進制數中1的數量是奇數還是偶數

例如:求10100001中1的數量是奇數還是偶數; 答案:1 ^ 0 ^ 1 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 1 = 1,結果為1就是奇數個1,結果為0就是偶數個1; 應用:這條性質可用於奇偶校驗(Parity Check),比如在串口通信過程中,每個字節的數據都計算一個校驗位,數據和校驗位一起發送出去,這樣接收方可以根據校驗位粗略地判斷接收到的數據是否有誤

(5)校驗和恢復

校驗和恢復主要利用的了異或的特性:IF a ^ b = c THEN a ^ c = b 應用:一個很好的應用實例是RAID5,使用3塊磁盤(A、B、C)組成RAID5陣列,當用戶寫數據時,將數據分成兩部分,分別寫到磁盤A和磁盤B,A ^ B的結果寫到磁盤C;當讀取A的數據時,通過B ^ C可以對A的數據做校驗,當A盤出錯時,通過B ^ C也可以恢復A盤的數據。

RAID5的實現比上述的描述復雜多了,但是原理就是使用 異或,有興趣的同學看下RAID5

(6)經典題目:不使用其他空間,交換兩個值

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a = a ^ b;
b = a ^ b; //a ^ b ^ b = a ^ 0 = a;
a = a ^ b;

這個題目就不用解釋了吧,太大眾題目了,哈哈,但是非常好的使用的了異或的特性;

(7)面試題:互換二進制數的奇偶位;

題目:寫一個宏定義,實現的功能是將一個int型的數的奇偶位互換,例如6的2進制為00000110,(從右向左)第一位與第二位互換,第三位與第四位互換,其余都是0不需要交換,得到00001001,輸出應該為9;

思路:我們可以把我們的問題分為三步(難道這也是分治法嗎 -。-),第一步,根據原值的偶數位獲取到目標值的奇數位,並把不需要的位清零;第二步,根據原值的奇數位獲取到目標值的偶數位,並把不需要的位清零;第三步:把上述兩個殘缺的目標值合並成一個完整的目標值;

代碼為:

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//假設 int 占兩個字節,16位;
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
#define N(n) ((n<<1)&(0xAAAA))|((n>>1)&(0x5555))
void main(){
    int k = N(6);
    cout << k << endl;
}

解釋: 1.為簡化說明,我們以4位二進制碼為例,0xAAAA 我們用 1010 代替;0x5555 我們用 0101 代替; 2.(n<<1)&(1010) 把n先左移1位,再與1010做與運算,只保留移位之後的偶數位的值,奇數位全為0,實際上是只保留了n的奇數位的值,並把它們交換到了偶數位上。比如 n = 0110 , n<<1 = 1100, (n<<1) & 1010 = 1000 ; 3.(n>>1)&(0101) 把n右移一位,再與 0101 做與運算,只保留移位之後的奇數位的值,偶數位全為0,實際是只保留n 的偶數位的值,並把它們交換到對應的奇數位上。n = 0110; n>>1 = 0011; (n>>1) & 0101 = 0001; 4.最後做或運算(相加),得到1001。

(7)最最常出現的面試題:一個整型數組裏除了N個數字之外,其他的數字都出現了兩次,找出這N個數字;

比如,從{1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 4, 5}中找出單個的數字: 1

讓我們從最簡單的,找一個數字開始;

題目:(LeetCode 中通過率最高的一道題) Single Number: Given an array of integers, every element appears twice except for one. Find that single one. Note:Your algorithm should have a linear runtime complexity. Could you implement it without using extra memory? 思路: 拿到這個題目,本能的你會使用排序(數字文字我們常常需要排序),排序後可以來判斷是否數字成對出現,思路很明顯,但是排序的算法上限是 O(nlogn),不符合題目要求;

學習了強大的異或,我們可以輕松的使用它的特性來完成這道題目: (1)A ^ A = 0; (2)異或滿足交換律、結合律; 所有假設有數組:A B C B C D A 使用異或:

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A ^ B ^ C ^ B ^ C ^ D ^ A
= A ^ A ^ B ^ B ^ C ^ C ^ D
= 0 ^ 0 ^ 0 ^ D
= 0 ^ D
= D

是不是很神奇?時間復雜度為O(n),當然是線性的,空間復雜度O(1)

代碼

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class Solution {
public:
    int singleNumber(int A[], int n) {
        //特殊情況1,2  
        if(n<=0) return -1;
        if(n==1) return A[0];

        int result = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
            result = result ^ A[i];
        }
        return result;
    }
};

接下來讓我們增加一些難度:

題目:一個整型數組裏除了個數字之外,其他的數字都出現了兩次。請寫程序找出這兩個只出現一次的數字?

思路第一步:肯定還是像我們上面的解法一樣,所有數進行異或,不過最終得到的結果是 a 和 b(假設 a 和 b 是落單的數字)兩個值的異或結果 aXORb,沒有直接得到 a 和 b 的值;

第二步:想辦法得到 a 或者 b,假設 aXORb 為 00001001(F肯定不為0),根君 aXORb 的值我們發現,值為1的位(比如從右向左第一位)表示在此位上 a 和 b 的值不同;所以,根據這個特點,我們找出來所有第一位為1的數進行異或,得到的就是 a 或者 b;

第三步:aXORb = a ^ b,假設我們已經找到了 a,根據異或特性,我們知道,b = aXORb ^ a;這樣我們就可以找出 b;所以我們只需要循環兩次;

這樣我們的時間復雜度是 O(n),空間復雜度是 O(1) 代碼

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#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;

int getFirstOneBit(int num) //輸出 num 的低位中的第一個 1 的位置  
{
    return num & ~(num - 1);  // num 與 -num 相與找到
}

void findTwo(int *array, int length){
    int aXORb = 0;
    int firstOneBit = 0;
    int a = 0;
    int b = 0;
    for (int i = 0; i < length; i++) {
        aXORb ^= array[i];
    }
    assert(aXORb != 0); //保證題目要求,有兩個single的數字
    firstOneBit = getFirstOneBit(aXORb);
    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        if(array[i] & firstOneBit) {
            a ^= array[i];
        }
    }
    b = aXORb ^ a;
    cout << "a: " << a << endl;
    cout << "b: " << b << endl;
}


int main()
{
    int array1[] = {2, 5, 8, 2, 5, 8, 6, 7};
    findTwo(array1, 8);
    return 0;
}

接下來讓我們再增加一些難度:

題目:一個整型數組裏除了個數字之外,其他的數字都出現了兩次。請寫程序找出這兩個只出現一次的數字?

思路

第一步:肯定還是像我們上面的解法一樣,所有數進行異或,不過最終得到的結果是 a、b 和 c(假設 a、b 和 c 是落單的數字)三個值的異或結果 aXORbXORc,沒有直接得到 a、b 和 c 的值;

第二步:想辦法得到 a、b 和 c 中的一個,讓偶們把問題簡化一下;

假設一個數組中有3個不同的數字 a、b 和 c,已知 aXORbXORc = a ^ b ^ c ,求 a、b 和 c 。

思路: 1. 根據題目 aXORbXORc ^ a = b ^ c; aXORbXORc ^ b = a ^ c; aXORbXORc ^ c = a ^ b; 因為:(b ^ c) ^ (a ^ c) ^ (a ^ b) = 0; 所以:(aXORbXORc ^ a) ^ (aXORbXORc ^ b) ^ (aXORbXORc ^ c) = 0;

  1. 下一步是關鍵: 假設 X ^ Y ^ Z = 0,則 X Y Z 三個數的低位第一位為1的位置兩個相同,一個不同; 比如 X: 00001000, Y: 00000100, Z: 00001100 Y和Z的低位第一位都是00000100, X的低位第一位是00001000; 這一步可以使用倒推法證明: 已知:三個數的低位第一位為1的位置有三種情況,一種就是全相同,一種就是兩個不同,一個不同,一種就是三個不同; (1)如果是全相同,則 X ^ Y ^ Z != 0 (1 ^ 1 ^ 1 = 1),與前提X ^ Y ^ Z = 0矛盾,不成立; (2)如果三個不同,則 X ^ Y ^ Z != 0 (1 ^ 0 ^ 0 = 1),與前提X ^ Y ^ Z = 0矛盾,不成立; 所以結果是:兩個不同,一個不同

  2. (aXORbXORc ^ a) ^ (aXORbXORc ^ b) ^ (aXORbXORc ^ c) = 0; 所以三個數(aXORbXORc ^ a)、(aXORbXORc ^ b) 和 (aXORbXORc ^ c) 的低位第一位為1的位置兩個相同,一個不同;那麽我們獲取到這三個數的低位第一位為1的位置後,進行異或並取低位第一位為1的位置,就可以找到三個中“一個不同”的低位第一位為1的位置,假設這個值為 firstOneBit。

  3. 遍歷這三個數(aXORbXORc ^ a)、(aXORbXORc ^ b) 和 (aXORbXORc ^ c),如果發現某個數異或 aXORbXORc 等於 firstOneBit,這個數就是“一個不同”的那個數;

  4. 找到了一個數,剩下的兩個數,我們就可以通過上面的方法找出來;

第三步:完成了第二步的簡化題,我們回到我們的問題,我們的問題比簡化的問題多了一個成對的幹擾數據,我們可以使用異或要去除幹擾數據(記住,我們這個題目都是用異或i去除幹擾數據的);

這樣我們的時間復雜度還是 O(n),空間復雜度是 O(1)

代碼如下:

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#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;

int getFirstOneBit(int num) //輸出 num 的低位中的第一個 1 的位置  
{
    return num & ~(num - 1);  // num 與 -num 相與找到
}

void findTwo(int *array, int length){
    int aXORb = 0;
    int firstOneBit = 0;
    int a = 0;
    int b = 0;
    for (int i = 0; i < length; i++) {
        aXORb ^= array[i];
    }
    assert(aXORb != 0); //保證題目要求,有兩個single的數字
    firstOneBit = getFirstOneBit(aXORb);
    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        if(array[i] & firstOneBit) {
            a ^= array[i];
        }
    }
    b = aXORb ^ a;
    cout << "a: " << a << endl;
    cout << "b: " << b << endl;
}

int findOne(int *array, int length) {
    int aXORbXORc = 0;
    int c = 0;
    int firstOneBit = 0;
    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        aXORbXORc ^= array[i];
    }

    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        firstOneBit ^= getFirstOneBit(aXORbXORc ^ array[i]); //使用異或會排除掉不相幹的元素
    }
    // firstOneBit = getFirstOneBit(a ^ b) ^ getFirstOneBit(a ^ c) ^ getFirstOneBit(b ^ c);

    firstOneBit = getFirstOneBit(firstOneBit); //獲取到最低位下面要用

    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        if (getFirstOneBit(aXORbXORc ^ array[i]) == firstOneBit) {
            c ^= array[i]; //使用異或會排除掉不相幹的元素
        }
    }
    cout << "c: " << c << endl;
    return c;
}

int main()
{
    int array1[] = {2, 5, 8, 2, 5, 8, 6, 7, 1};
    int c = findOne(array1, 9);
    int array2[] = {2, 5, 8, 2, 5, 8, 6, 7, 1, c}; //為了更好重用函數,我重新定義了一個數組讓大家理解
    findTwo(array2, 10);
    return 0;
}

關於異或^的用法 [轉載]