被一道數學題纏住啦！

遇到這種情況當然是要上網找答案啦！

但找到的每一個答案我都看不懂怎麽辦？

那就自己死磕吧！

題目：

$f(x)=x^2+px+q$，若$f(f(x))=0$只有一個實根，求證：$p,q\geq0$

以下是我的口胡證明，歡迎糾錯。

首先$f(x)=0$肯定要有根，$\triangle\geq0\Rightarrow p^2-4q\geq0\qquad(1)$

然後轉化一下原問題：$\left\{\begin{align*}t=f(x)\\f(t)=0\end{align*}\right.$只有一組實數解

容易看出$t\geq-\dfrac{p^2}{4}+q$

假設它的解為$\left\{\begin{align*}x&=x_0\\t&=t_0\end{align*}\right.$

若$x_0\neq-\dfrac{p}{2}$，則$f(-p-x_0)=f(x_0)\Rightarrow f(f(-p-x_0))=f(f(x_0))=0$，矛盾！所以$x_0=-\dfrac{p}{2}$

所以$t_0=-\dfrac{p^2}{4}+q\qquad(2)$

若$t_0\lt -\dfrac{p}{2}$，則$f(-p-t_0)=f(t_0)=0$

如果$-p-t_0\neq t_0$，就有了另一組解，如果$-p-t_0=t_0$，則$t_0=-\dfrac{p}{2}$，也與$t_0\lt -\dfrac{p}{2}$矛盾

所以$t_0\geq-\dfrac{p}{2}\qquad(3)$

由$(1),(2),(3)$可得$p\geq0$

$f(t_0)=0\Rightarrow q^2+(-\dfrac{p^2}{2}+p+1)q+\dfrac{p^4}{16}-\dfrac{p^3}{4}=0$

構造函數$g(q)=q^2+(-\dfrac{p^2}{2}+p+1)q+\dfrac{p^4}{16}-\dfrac{p^3}{4}$，它的開口向上

$g(q)$的對稱軸為$q=\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p}{2}-\dfrac{1}{2}$

把$(2)$整理一下，得到$q\geq\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p}{2}$，這個下限比對稱軸大，所以我們只需要證這個方程的大根是非負的即可

當$p\geq2$時，$q\geq\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p}{2}\geq0$

當$0\leq p\lt2$時，$g(0)=\dfrac{p^4}{16}-\dfrac{p^3}{4}\leq0$，所以此方程的大根是非負的

綜上，$q\geq0$

[摸魚]一道數學題