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sg函數總結

阿新 • • 發佈：2017-12-22
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http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495

這一段時間寫的題和我接下來要展示的一些概念都來自這裏↑。

必勝點和必敗點的概念： P點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。 N點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。 必勝點和必敗點的性質： 1、所有終結點是 必敗點 P 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設） 2、從任何必勝點N 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 P。 3、無論如何操作，必敗點P 都只能進入 必勝點 N。
 Sprague-Grundy定理（SG定理）：　 　　遊戲和的SG函數等於各個遊戲SG函數的Nim和（異或和）。這樣就可以將每一個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim遊戲中的直接應用，因為單堆的Nim遊戲 SG函數滿足 SG(x) = x。 SG函數： 首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。 對於任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 後繼狀態的SG函數值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 SG(a),SG(b),SG(c)，那麽SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 這樣 集合S 的終態必然是空集，所以SG函數的終態為 SG(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點P時。
 sg函數的原理 https://zhuanlan.zhihu.com/p/20611132 我的理解： 試想一個博弈以不能操作為輸，後手的保證勝利大多數基於對稱方案，也就是說，對於先手的每一步，後手都有對應的步，異或同0異1剛好解決這個問題。 我對mex運算的理解是這是一種分層，各種取數方法博弈的dp停留在01這一層，如果多個類似的遊戲綜合起來就會有http://poj.org/problem?id=2425這棵樹一樣會有一些有很多分支的節點，sg函數的mex操作這樣完成了節點的分層（一個位置的sg值的二進制的每一位代表這個位置每一層的狀態）。然後再進行遊戲的前後手操作匹配，異或和如果為0則表明後手對先手的每一步都能匹配，此時後手必勝。
其實我覺得這個理解並不是很重要，直接套板子也能寫，但是我不知道原理就會渾身難受所以。。還是找了資料大概理解了一下原理。

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