判斷三角形形狀
判斷三角形形狀
一、依據：主要是正、余弦定理的角的形式或者邊的形式，其次還可能用到誘導公式，兩角和與差的公式和二倍角公式等，
二、變形思路：
①角化邊，轉化為只有邊的形式，解代數方程得到，
②邊化角，轉化為只有角的形式，解三角方程得到，
三、例題
\(\fbox{例1}\)
設\(\Delta ABC\)的內角\(A，B，C\)所對的邊分別為\(a，b，c\)，若\(bcosC+ccosB=asinA\)，則\(\Delta ABC\)的形狀為【】
A、銳角三角形 \(\hspace{2cm}\) B、直角三角形 \(\hspace{2cm}\) C、鈍角三角形 \(\hspace{2cm}\)
分析：用正弦定理的邊的形式，邊化角，得到\(sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA\)，
即\(sin(B+C)=sinA=sinAsinA\)，由於\(sinA\neq 0\)，故\(sinA=1\)，故\(A=\cfrac{\pi}{2}\)，故為直角三角形。
\(\fbox{例2}\)
上例中的條件變為:若\(2sinAcosB=sinC\),則\(\Delta ABC\)的形狀為【】
A、直角三角形 \(\hspace{2cm}\) B、等腰三角形 \(\hspace{2cm}\) C、等腰直角三角形 \(\hspace{2cm}\) D、正三角形
分析：由條件\(2sinAcosB=sinC\)
整理得到\(sinAcosB-cosAsinB=0\)，即\(sin(A-B)=0\)，
故\(A=B\)，即為等腰三角形。
\(\fbox{例3}\)
上例中的條件變為:若\(acosA=bcosB\)，則\(\Delta ABC\)的形狀為【】
A、直角三角形 \(\hspace{2cm}\) B、等腰三角形 \(\hspace{2cm}\) C、等腰直角三角形 \(\hspace{2cm}\) D、等腰或直角三角形
分析：邊化角得到\(sinAcosA=sinBcosB\)，即\(sin2A=sin2B\)
故\(2A=2B\)或\(2A+2B=\pi\)，
故\(A=B\)或\(A+B=\cfrac{\pi}{2}\)，則為等腰或直角三角形。
\(\fbox{例4}\)
\(\fbox{例5}\)
在\(\Delta ABC\)中，若\(sin^2A+sin^2B < sin^2C\)，則\(\Delta ABC\)的形狀為【】
A、銳角三角形 \(\hspace{2cm}\) B、直角三角形 \(\hspace{2cm}\) C、鈍角三角形 \(\hspace{2cm}\) D、不確定
分析：角化邊，得到\(a^2+b^2<c^2\)，故選C。
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