證明碰撞集問題(Hitting Set)是NP-complete

Problem

In the HITTING SET problem, we are given a family of sets {S1, S2, ... , Sn} and a budget b, and we wish to find a set H of size ≤ b which intersects every Si, if such an H exists. In other words, we want H ∩ Si ≠ ? for all i.

Show that HITTING SET is NP-complete

Solution

1. 首先，HITTING SET是一個NP問題。

   對於H中的所有元素，和Si逐個比較是否有交集並且大小小於等於b，這個操作顯然是多項式時間復雜度的問題。

2. 其次，Vertex Cover是一個NP難問題。

   由書本P241、242，可知最小頂點覆蓋問題（Vertex Cover）是NP難問題。

3. 最後，將Vertex Cover歸約到HITTING SET，即可證明碰撞集問題是一個NP完全問題。

   假設要求圖G(V, E) 的Vertex Cover，可以建立一個HITTING SET實例，其中S1, S2, ... , Sn是圖G的各條邊，比如：S1={v1, v2}，這樣可以構造出|E|個集合，求圖G的Vertex Cover，可以轉化成求這|E|個集合的HITTING SET。Vertex Cover的頂點就是H的元素，Vertex Cover的個數即為b。

證明碰撞集問題(Hitting Set)是NP-complete