數學軟件實訓任務二

一 題目：MATLAB程序綜合設計及應用

二 目的：熟練掌握MATLAB程序設計的基本方法，會根據MATLAB程序設計的

三 要求：

1 熟練掌握控制流的基本語法結構。

　　 2 會熟練應用for循環，while循環及分支語句if …else和switch…case等進行混合編程，處理實際問題。

四 實訓內容：

1 方程求根的二分法及程序設計

　　（1）方程求根的二分法的基本原理

取[a,b]的中點$\xi \displaystyle _{1}=\frac{a+b}{2}$，計算 $f(\xi _{1})$．

如果$f(\xi _{1})=0$；那麽$\xi=\xi_{1}$；

如果 $f(\xi _{1})$與$f(a)$同號，那麽取$a_{1}=\xi_{1}$，$b_{1}=b$，由$f(a_{1})*f(b_{1})<0$，即知$a_{1}<\xi <b_{1}$，且$b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}$；

如果$f(\xi _{1})$與$f(b)$同號，那麽取$a_{1}=a,b_{1}=\xi _{1}$，由$f(a_{1})*f(b_{1})<0$，即知$a_{1}<\xi <b_{1}$，且$b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}$；

總之，當$\xi \neq \xi_{1}$時，可求得$a_{1}<\xi<b_{1}$，且$b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}$．

以[a1,b1]作為新的隔離區間，重復上述做法，當$\xi\neq\xi_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$時，可求得

$a_{2}<\xi <b_{2}$，且$b_{2}-a_{2}=\frac{b-a}{2^{2}}$．

如此重復n次，可求得$a_{n}<\xi<b_{n} $，$b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}$．由此可知，如果以$a_{n}$或$b_{n}$作為$\xi$的近似值，那麽其誤差小於$\frac {b-a} {2^{n}}$．如圖14-23是二分法的原理示意圖．

圖 14-23 二分法原理示意圖

二分法的優點是對函數的要求低（只要求滿足零點定理的條件），方法簡便、可靠，程序設計容易，事先估計次數容易，收斂速度恒定。

（2）二分法程序設計

（3）繪出函數$f(x)=x^{3}+1.1x^{2}+0.9x-1.4$的圖像，找出根的隔離區間，然後用所編寫的二分法程序求方程$f(x)=x^{3}+1.1x^{2}+0.9x-1.4=0$實根的近似值，使誤差不超過$10^{-3}$．

數學軟件實訓2-MATLAB程序綜合設計及應用