【uoj310】[UNR #2]黎明前的巧克力 FWT
阿新 • • 發佈:2018-01-03
ros turn dot 轉化 異或 true pos size bsp
題目描述
給出 $n$ 個數,從中選出兩個互不相交的集合,使得第一個集合與第二個集合內的數的異或和相等。求總方案數。
輸入
第一行一個正整數 $n$ ,表示巧克力的個數。
第二行 $n$ 個整數 $a_i$ 表示每個巧克力的美味值。
輸出
輸出一行一個整數,表示能使得他們心情契合的吃巧克力的方案數對 998244353 取模的結果。
樣例輸入
6
1 2 3 4 5 6
樣例輸出
80
題解
FWT
首先如果兩個集合的異或相等,那麽它們的異或為0。原問題轉化為求選出一個異或和為0的集合並分為兩個即可的方案數。
那麽設 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 個數中選出的數的異或和為 $j$ 的方案數。那麽就有 $f[i][j]=f[i-1][j]+2·f[i-1][j\ xor\ a[i]]$ 。
可以發現這是一個異或卷積的形式,相當於每次卷的是:$b[0]=1,b[a[i]]=2$ ,然而並無卵用 = =
考慮對這個過程進行FWT,那麽:
0對每個位置的貢獻都是1;
a[i]對某些位置的貢獻是2,對某些位置的貢獻是-2。
所以每次卷上的 $b$ 數組的每個數都是-1或3。
另有:和的FWT等於FWT的和。
因此把它們求和後進行FWT,那麽就知道了每個位置FWT的和。
由於只有-1和3,因此可以解出-1和3的個數,然後快速冪處理一下即可。
最終再逆FWT回來即可。
時間復雜度 $O(n\log n)$
#include <cstdio> #define N 1050000 #define mod 998244353 typedef long long ll; ll a[N] , b[N]; ll pow(ll x , ll y) { ll ans = 1; while(y) { if(y & 1) ans = ans * x % mod; x = x * x % mod , y >>= 1; } return ans; } void fwt(ll *a , int n , int flag) { int i , j , k , t; for(i = 1 ; i < n ; i <<= 1) for(j = 0 ; j < n ; j += (i << 1)) for(k = j ; k < j + i ; k ++ ) t = a[k] , a[k] = (t + a[k + i]) * flag % mod , a[k + i] = (t - a[k + i] + mod) * flag % mod; } int main() { int n , mx = 0 , m = 1 , i , x; scanf("%d" , &n); for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { scanf("%d" , &x) , a[0] ++ , a[x] += 2; if(mx < x) mx = x; } while(m <= mx) m <<= 1; fwt(a , m , 1); for(i = 0 ; i < m ; i ++ ) { x = (n + a[i]) * 748683265 % mod; if(((x + n) % mod) & 1) b[i] = (mod - pow(3 , x)) % mod; else b[i] = pow(3 , x); } fwt(b , m , 499122177); printf("%lld\n" , (b[0] - 1 + mod) % mod); return 0; }
【uoj310】[UNR #2]黎明前的巧克力 FWT