「自選題」Div

題意

已知：\(n(1 \le n \le {10} ^ {12})\)

條件：

定義 \(a + bi | k\) ，當且僅當存在 \(c + di\) ，使得 \((a + bi)(c + di) = k\)

\(f(n) = \sum_{a + bi | n, a > 0} a\)

求：\(ans = \sum_{i = 1} ^ n f(i)\)

分析

首先肯定要分析 \(a + bi | n\) 的含義。

$ac - bd = k, bc + ad = 0 $

即
\[ \begin{vmatrix} a & -b \\ b & a \end{vmatrix} | \begin{vmatrix} k & -b \\ 0 & a \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} a & -b \\ b & a \end{vmatrix} | \begin{vmatrix} a & k \\ b & 0 \end{vmatrix} \]

即 \(a ^ 2 + b ^ 2 | (a, b) k\)

代入原式，
\[ ans = \sum_{k = 1} ^ n \sum_{ai + b | k, a > 0} a = \sum_{k = 1} ^ n \sum_{a > 0, b} [a ^ 2 + b ^ 2 | (a, b) k] a \]
\(b > 0\) 與 \(b < 0\) 的貢獻相同，\(b = 0\) 可以輕易處理。
\[ \begin{aligned} ans & = \sum_{k = 1} ^ n \sum_{a > 0} [a | k] a + 2 \sum_{k = 1} ^ n \sum_{a, b > 0} [a ^ 2 + b ^ 2 | (a, b) k] a \\ & = \sum_{k = 1} ^ n \sigma(k) + 2 \sum_{k = 1} ^ n \sum_{a, b > 0} [a ^ 2 + b ^ 2 | (a, b) k ] a \end{aligned} \]

通過枚舉 \(d = (a, b), dx = a, dy = b\) 來實現枚舉 \(a, b\) ，
\[ T = \sum_{k = 1} ^ n \sum_{d, x, y > 0, (x, y) = 1} [d(x ^ 2 + y ^ 2) | k] dx \]
這時候有兩種想法，我可以先枚舉 \(d\) ，或者先枚舉 \(x, y\) ，事實證明枚舉 \(x, y\) 比較好。
\[ \begin{aligned} T & = \sum_{k = 1} ^ n \sum_{(x, y) = 1} x \sum_{d | \frac{k}{x ^ 2 + y ^ 2}} d \\ & = \sum_{k = 1} ^ n \sum_{(x, y) = 1} x \sigma(\frac{k}{x ^ 2 + y ^ 2}) \\ & = \sum_{(x, y) = 1} x \sum_{i = 1} ^ {\lfloor \frac{n}{x ^ 2 + y ^ 2} \rfloor} \sigma(i) \end{aligned} \]

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