整數在計算機裏的表示
整數的表示其實是比較簡單的，無非是解決符號位、數字表示的唯一性等問題
整數在計算機中是使用補碼表示的，在講解補碼前，先看一下相關概念。
機器數與真值
數值在計算機中的表現形式叫做機器數，該數值就是機器數代表的真值。機器數是真值在計算機中的表現形式，真值是機器數的代表的數值。
比如5在計算機中的表現形式是00000101，所以00000101就是5的機器數，5就是機器數00000101所代表的真值。
整型數在計算機中的編碼方式
C語言中的整型數分為有符號數和無符號數兩種類型，無符號數代表的都是非負整數，所以在計算機中直接用二進制值表示就可以，但是有符號數既可以表示正整數，也可以表示負整數，所以有符號數在計算機中不能直接用二進制值來表示，需要使用補碼的方式來表示。
有符號數在計算機中的編碼方式
編碼方式是為了解決有符號數在計算機中的表示方式。計算機中的編碼方式主要有原碼，反碼，補碼三種方式。
原碼
假定機器字長4字節，原碼的編碼方式規定如下：
最高位是符號位，用0代表正數，用1代表負數，其它位就是真值的絕對值對應的二進制值，比如十進制數5的二進制值是101，又因為5是正數，所以最高位是0，其它位是0000000 00000000 00000000 00000101，完整格式如下：00000000 00000000 00000000 00000101。
上面描述了正數的原碼，下面我們看一下負數的原碼，比如-5，因為它是負數，所以最高位用1表示，又因為-5的絕對值是5，所以它的絕對值是101，因為它的原碼是10000000 00000000 00000000 00000101。但是原碼有兩個問題，一個是0有兩種表示方式，這不符合數學習慣，另一個問題是[5]原+[-5]原=[10000000 00000000 00000000 00001010]原=-10!=0，所以使用原碼無法實現正負數的加法運算，也就是說不能實現5-5=0。
反碼
為了解決原碼中兩個正負數相加不等於0的問題，人們設計了反碼，反碼的規定如下：
正數的反碼就是原碼，負數的反碼最高位是符號位，其它位是它所對應的原碼除符號位之外，其它位全部取反。就是原碼中除符號位外，0變1,1變0。比如5的原碼是00000000 00000000 00000000 00000101，因為5是正數，所以它的反碼和原碼一樣。再比如-5的原碼是10000000 00000000 00000000 00000101，因為它是負數，所以除了符號位，其它全部取反，所以它的反碼是11111111 11111111 11111111 11111010，所以5-5=[00000000 00000000 00000000 00000101]反+[11111111 11111111 11111111 11111010]反=[11111111 11111111 11111111 11111111]反 = -0，因為0無所謂正負，所以它代表的就是0，所以反碼解決了原碼相對數相加不等於0的問題，但是，0分為正0和負0不符合數學習慣，所以人們繼續改進，發明了補碼。
補碼
正數的補碼和原碼、反碼一樣，負數的補碼為它的反碼加1，所以5-5=5+(-5)=[00000000 00000000 00000000 00000101]反+[11111111 11111111 11111111 11111010]反= 00000000 00000000 00000000 00000101]補+[11111111 11111111 11111111 11111011]補= [00000000 00000000 00000000 00000000]補=0，所以補碼解決了正負數相加不等於0的問題，又因為-0的反碼加1和+0的補碼一樣，所以在補碼中，0只有一個，就是[00000000 00000000 00000000 00000000]補，因此，在計算機中有符號數采用補碼表示。
補碼的數學原理
假設在計算機中用一個字節來表示整數，那麽總共可以表示256個整數，如果這些數都是無符號數，那麽表示範圍是0~255。所以如果是兩個無符號數相加，CPU設計就會非常容易，直接對這兩個數做二進制運算就可以，但是，有符號數怎麽辦，因為有符號數涉及符號位的表示，減法的運算，所以如果用正常的邏輯思路去設計CPU的運算器，就需要解決符號位和減法運算的問題，這樣CPU的設計就會非常麻煩，而且效率也不高，因此，有人想到了同余數的概念，同余數告訴我們在有限的連續變化空間內，一個二進制數代表的不僅是這一個數，而是與這個值同余的所有整數，比如11111111這個數既可以表示255，也可以表示-1，為什麽呢？因為在1個字節存儲空間的情況下，-1和255模256相等。又因為同余數的兩個性質，一個是數a本身就是自己的同余數，另一個就是如果兩個數a和b對m同余，並且c和d也是對m同余，那麽，a+c和b+d對m同余。同余的本質就是說這些數對應的位置相同，因此，兩個數a和b的減法，就可以表示成a和（-b）對m的補碼的加法，
並且它們對應的結果一樣，這樣就可以將有符號的減法運算轉換為無符號的加法運算。下面，我們再具體論證一下，為什麽它們的結果相等？因為a和自己是同余數，所以a和a對256同余，又因為-b和-b的補碼對256同余，所以a-b和a+(-b的補碼）對256同余，又因為同余代表的是同一個位置，所以a-b的結果與a+(-b的補碼）的結果一樣，因此，補碼利用同余數的原理將有符號的減法轉換為無符號的加法，從而簡化了CPU運算器的設計。
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