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3992: [SDOI2015]序列統計

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Description

小C有一個集合S，裏面的元素都是小於M的非負整數。他用程序編寫了一個數列生成器，可以生成一個長度為N的數列，數列中的每個數都屬於集合S。 小C用這個生成器生成了許多這樣的數列。但是小C有一個問題需要你的幫助：給定整數x，求所有可以生成出的，且滿足數列中所有數的乘積mod M的值等於x的不同的數列的有多少個。小C認為，兩個數列{Ai}和{Bi}不同，當且僅當至少存在一個整數i，滿足Ai≠Bi。另外，小C認為這個問題的答案可能很大，因此他只需要你幫助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

Input

一行，四個整數，N、M、x、|S|，其中|S|為集合S中元素個數。第二行，|S|個整數，表示集合S中的所有元素。

Output

一行，一個整數，表示你求出的種類數mod 1004535809的值。

Sample Input

4 3 1 2
1 2

Sample Output

8

HINT

【樣例說明】
可以生成的滿足要求的不同的數列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。
【數據規模和約定】
對於10%的數據，1<=N<=1000；
對於30%的數據，3<=M<=100；
對於60%的數據，3<=M<=800；
對於全部的數據，1<=N<=109，3<=M<=8000，M為質數，1<=x<=M-1，輸入數據保證集合S中元素不重復

Source

Round 1 感謝yts1999上傳

先隨便找出M的一個原根 （原根很多，對於一個模數M原根大致有phi(phi(M))個），然後把S集合中的數都轉化成指標。

(順便科普一下如何判斷一個數是不是原根，因為原根要遍歷1-M-1的同余系下的所有元素，所以原根在M-1次方之前

是不能等於1的。然而不用一個次方一個判斷，直接判斷在M-1的約數除是否有1就行了(其實還可以更優化，即只判斷/某個質因子之後的約數

就行了，但是這個方法本題已經夠用了))

這樣之後mod M同余系下兩個數相乘就相當於它們的指標相加。

你問我這個有什麽用？？

轉化成加法之後就可以卷積了啊，不轉化的話只能Ｏ(Ｎ^２)算。

然後這裏有一個超級超級超級超級超級超級大的大坑是集合Ｓ中的元素是非負整數！！！

不是正整數是非負整數！！！

如果有一個元素是０的話那它是沒有意義的(0沒有指標啊，然而一開始沒有特判讓idx==0的強行加了1hhhh)

轉化之後構造一個關於指標的元多項式，它的N次方的idx[x]次項的系數就是答案。

可以用求快速冪類似的方法倍增求解，不過每一次乘完了之後要維護一下次數>=M-1的(因為指標的值都是<=M-2的)，

把它們的值加到 mod(M-1)同余系下的<M-1的次數項上 (如果你問為什麽不是 mod M同余系下那麽我建議你去學一下歐拉定理)

然後幾乎就是個NTT的板了。

/**************************************************************
    Problem: 3992
    User: JYYHH
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:4656 ms
    Memory:2116 kb
****************************************************************/
 
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1004535809
#define maxn 30005
using namespace std;
const int pi=3,ni=mod/pi+1;
int di[maxn],tot,N,M,X,num,inv;
int a[maxn],p,b[maxn],ind[maxn];
int r[maxn],e[maxn],l,n,ans[maxn];
inline int add(int x,int y,const int ha){
    x+=y;
    if(x>=ha) x-=ha;
    return x;
}
 
inline int dec(int x,int y,const int ha){
    x-=y;
    if(x<0) x+=ha;
    return x;
}
 
inline int mul(int x,int y,const int ha){
    return (ll)x*y%ha;
}
 
inline int ksm(int x,int y,int ha){
    int an=1;
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%ha) if(y&1) an=(ll)an*x%ha;
    return an;
}
 
inline bool can(int x){
    for(int i=1;i<=tot;i++) if(ksm(x,di[i],M)==1) return 0;
    return 1;
}
 
inline void get(){
    for(int i=2;i<M;i++) if(can(i)){
        p=i;
        break;
    }
}
 
inline void prework(){
    ind[1]=0;
    for(int i=1,j=p;j!=1;i++,j=(ll)j*p%M){
        ind[j]=i;
    }
}
 
inline void NTT(int *c,int f){
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<r[i]) swap(c[i],c[r[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        int omega=(f==1?ksm(pi,(mod-1)/(i<<1),mod):ksm(ni,(mod-1)/(i<<1),mod));
        for(int j=0,q=i<<1;j<n;j+=q){
            int now=1;
            for(int k=0;k<i;k++,now=mul(now,omega,mod)){
                int x=c[k+j],y=mul(now,c[k+j+i],mod);
                c[k+j]=add(x,y,mod);
                c[k+j+i]=dec(x,y,mod);
            }
        }
    }
     
    if(f!=1) for(int i=0;i<n;i++) c[i]=mul(c[i],inv,mod);
}
 
inline void calc(int *x,int *y){
    NTT(x,1),NTT(y,1);
    for(int i=0;i<n;i++) x[i]=mul(x[i],y[i],mod);
    NTT(x,-1);
     
    int D=M-1,to;
    for(int i=0;i<D;i++){
        to=i+D;
        x[i]=add(x[i],x[to],mod);
    }
    for(int i=D;i<n;i++) x[i]=0;
}
 
inline void solve(){
    for(n=1,l=0;n<=((M-2)<<1);n<<=1) l++;
    for(int i=0;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    inv=ksm(n,mod-2,mod);
    ans[0]=1;
     
    while(N){
        if(N&1){
            for(int i=0;i<n;i++) e[i]=b[i];
            calc(ans,e);
        }
        for(int i=0;i<n;i++) e[i]=b[i];
        calc(b,e);
        N>>=1;
    }
}
 
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&N,&M,&X,&num);
    M--;
    for(int i=2;i*i<=M;i++) if(!(M%i)){
        di[++tot]=i;
        if(i*i!=M) di[++tot]=M/i;
    }
    M++;
    for(int i=1;i<=num;i++) scanf("%d",a+i);
     
    get();
    prework();
    for(int i=1;i<=num;i++) if(a[i]) b[ind[a[i]]]=1;
     
    solve();
    printf("%d\n",ans[ind[X]]);
    return 0;
}

[SDOI2015] 序列統計