讀書筆記: 博弈論導論 - 14 - 不完整信息的靜態博弈 機制設計

機制設計(Mechanism Design)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。

機制設計的概念

機制設計的目標是設計一個可以達到期望收益的博弈。
由於這是根據博弈結果來推導博弈的形式，也被稱為反向博弈論(reverse game theory)。
這個理論明顯在經濟和政治方面有很多用途。
我們假象這樣一個例子：

某個政府需要設計一個關於化工廠的環保政策。
這個政策可能涉及到：幾個化工廠、政府和大眾。
大概的想法是：政府有一些排放許可；化工廠需要從政府那裏買排放許可；政府和大眾利用獲得的資金改善環境。

機制設計的核心是：制定玩家的行動和支付資金的關系。

從上面的例子可以看出一些新的元素：

• 排放許可
  在理論中稱之為替代選擇(alternatives)，或者叫做公共物品(public good)。
• 資金的轉移(monetary transfer)

新的概念：

• 機制設計者(mechanism designer)
  也稱為中央集權(central authority)。中央集權不一定是玩家。
• 替代選擇(alternatives)或者公共物品(public good)
  中央集權提供的公共物品或者服務。
  將成為玩家的結果(outcome)的一部分。
• 資金的轉移(monetary transfer)
  
  每個玩家獲得的資金。負數表示支付的資金，
  成為收益函數的一部分。
• 收益函數
  在機制設計中，玩家的結果包含兩部分：公共物品和資金的轉移。
  另外，我們簡單地加上資金部分作為收益。
  所以收益函數變為:
  \[ v_i(x, m_i, \theta_i) = u(x, \theta_i) + m_i \]
• 所有玩家的一個結果組合(outcomes)
  這裏用y來表示，以區分x。
  \[ y = (x, m_1, \cdots, m_n) : x \in X, m_i \in \mathbb{R} \ \forall i \in N, \sum_{i=1}^{n} m_i \leq 0 \y_i = (x_i, m_i) \]
• 選擇規則(choice rule)
  根據類型\(\theta\)得到機制的結果\(y\)。
  \[ f(\theta) = (x(\theta), m_1(\theta), \cdots, m_n(\theta)) \where \x(\theta) \text( : decision rule) \(m_1(\theta), \cdots, m_n(\theta)) \text( : transfer rule) \]
  選擇條件定義了每個類型想要的結果。

機制設計者面臨的問題和一個方向

機制設計者面臨的問題和一個方向

在不完整信息博弈中，私有信息（機制設計者不知道的信息）：

• 每個玩家的類型\(\theta\)。
  公共知識：
• 類型集合\(\Theta\)
• 每種類型的選擇規則，也就是每種類型玩家傾向的結果
• 每種類型的策略，就是每種類型玩家的傾向策略
• 策略行動導致的結果。

機制設計的兩個方向之一，是在不知道玩家的類型（這是私有信息）的情況下，
設計出一個足夠聰明的博弈，能夠保證：

• 對於每種類型的玩家組合，其選擇規則的結果，和博弈的貝葉斯納什均衡的結果一致。
  也就是說，其選擇規則結果和博弈的策略引起的結果一致。
  滿足上面條件的機制，則稱之實現了選擇規則。
  下面是相應的數學說明。

• 機制(mechanism)
  機制規定了玩家的行動集合，以及行動結果與資金轉移的關系。
  \[ \Gamma = \langle A_1, \cdots, A_n, g(\cdot) \rangle \where \g : A_1 \times \cdots A_n \to Y \\]
• 玩家i的純策略
  \(s_i : \Theta_i \to A_i\)

• 玩家i的收益函數
  \(v_i(g(s), \theta_i)\)

• 貝葉斯納什均衡(Bayesian Nash Equilibrium)
  如果滿足下面條件，一個策略組合\(s^*(\cdot) = (s_1^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot))\)
  是一個機制\(\Gamma = \langle A_1, \cdots, A_n, g(\cdot) \rangle\)的貝葉斯納什均衡：
  \[ E_{\theta_{-1}} [v_i(g(s_i^*(\theta_i), s_{-i}^*(\theta_{-i})), \theta_i) | \theta_i] \geq E_{\theta_{-1}} [v_i(g(a_i, s_{-i}^*(\theta_{-i})), \theta_i) | \theta_i], \forall a_i \in A_i, \forall i \in N, \forall \theta_i \in \Theta_i \]

  也就是說，對於每種類型組合，每個玩家，當對手的策略是這個策略組合時，這個玩家的這個策略組合的策略是最優的（其期望收益大於等於其它的所有策略的期望收益）。

• 機制實現選擇規則
  如果滿足下面條件，則這個機制\(\Gamma\)實現了(implement)選擇規則\(f(\cdot)\):
  存在一個貝葉斯納什均衡\(s^*(s_1^*(\theta_1), \cdots, s_n^*(\theta_n))\)，滿足：
  \[ g(s_1^*(\theta_1), \cdots, s_n^*(\theta_n)) = f(\theta), \forall \theta_i \in \Theta_i \]

• 部分實現(partial implementation)和完全實現(full implementation)
  除了期望的貝葉斯納什均衡，如果允許存在其它的、不期望的均衡，成為部分實現；
  如果不允許存在其它的、不期望的均衡，成為完全實現；

揭露原理(the revelation principle)

機制設計的另外一個方向：玩家意識到機制設計者會實現他的選擇條件\(f(\cdot)\)時，玩家會透露自己的類型。

• 直接揭露機制(direct revelation mechanism)
  一個選擇規則\(f(\cdot)\)的直接揭露機制\(\Gamma = \langle \Theta_1, \cdots, \Theta_n, f(\cdot) \rangle\)是:
  \[ A_i = \Theta_i, \forall i \in N \g(\theta) = f(\theta), \forall \theta \in \Theta \]
  解釋：

  對於每個玩家，其行動集合\(\Theta\)是選擇規則\(\Theta_i\)對應的行動集合（想象一下，每個類型對應一個策略，一個策略對應一個行動）。
  對於每個類型\(\theta\)，它的選擇規則（想要的）結果\(f(\theta)\)和機制設計的結果\(g(\theta)\)一致。

• 在貝葉斯納什均衡中誠實地可實現的(truthfully implementable in Bayesian Nash equilibrium)
  一個選擇規則\(f(\cdot)\)是在貝葉斯納什均衡中誠實地可實現的，
  如果這個選擇規則的直接揭露機制\(\Gamma = \langle \Theta_1, \cdots, \Theta_n, f(\cdot) \rangle\)有一個貝葉斯納什均衡\(s_i^*(\theta_i) = \theta_i\),
  也就是說，滿足：
  \[ E_{\theta_{-1}} [v_i(f(\theta_i, \theta_{-i}), \theta_i) | \theta_i] \geq E_{\theta_{-1}} [v_i(g(\theta_i', \theta_{-i}), \theta_i) | \theta_i], \forall \theta_i' \in \Theta_i \]
  解釋：

  當解釋規則的直接揭露機制有有一個貝葉斯納什均衡解，則其實完全可滿足的。

推論 14.1 : 對於貝葉斯納什實現的揭露原理
一個選擇規則\(f(\cdot)\)在貝葉斯納什均衡中是可實現的，當且僅當它在貝葉斯納什均衡中誠實地可實現的(truthfully implementable in Bayesian Nash equilibrium)。

揭露原理的想法：

在均衡中，玩家知道這個機制實現了選擇規則\(f(\cdot)\)，所以會何其保持一致。
因此他們可能會誠實地述說他們的類型，讓機制設計者直接實現選擇規則\(f(\cdot)\)。

優勢策略和Vickrey-Clarke-Groves機制

• 優勢策略
  如果滿足以下條件，則策略組合\(s^*(\cdot) = (s_1^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot))\)是一個機制\(\Gamma = \langle A_1, \cdots, A_n, g(\cdot) \rangle\)的優勢策略：
  \[ v_i(g(s_i^*(\theta), a_{-i}), \theta_i) \geq v_i(g(a_i', a_{-i}), \theta_i), \forall a_i \in A_i, \forall a_{-i} \in A_{-i}, \forall i \in N, \forall \theta_i \in \Theta_i \]
  同時，揭露原理意味著如果選擇法則\(f(\cdot)\)如果一個選擇規則可以被一個優勢策略實現，我們只要檢測這個選擇法則是在優勢策略中誠實地可實現的。
  即：
  \[ v_i(f(\theta_i, \theta_{-i}), \theta_i) \geq v_i(f(\theta_i', \theta_{-i}), \theta_i), \forall \theta_i \in \Theta_i, \forall \theta_{-i} \in \Theta_{-i}, \forall i \in N, \forall \theta_i \in \Theta_i \]

推論 14.2
在一個準線性(quasilinear)環境中，給定一個實例狀態\(\theta \in \Theta\)，
一個替代物(alternative)\(x^* \in X\)是一個帕累托優化，當且僅當下面有一個解：
\[ \max_{x \in X} \sum_{i=1}^I u_i(x_i, \theta_i) \]

• First-best decision rule
  如果對於\(\forall \ \theta \in \Theta\), \(x^*(\theta)\)都是帕累托優化的，則\(x^*(\cdot)\)為First-best decision rule。

• Vickrey-Clarke-Groves機制
  給定一個宣布的類型\(\theta'\)，
  這個選擇規則\(f(\theta') = (x(\theta'), m_1(\theta'), \cdots, m_n(\theta') )\)是一個Vickrey-Clarke-Groves機制，
  如果\(x^*(\cdot)\)是一個第一好決定規則(first-best decision rule)，並且：
  \[ m_i(\theta') = \sum_{j \neq i} u_j(x^*(\theta'_j, \theta'_{-i}), \theta'_j) + h_i(\theta'_{-i}) \where \h_i(\theta'_{-i}) \text{ is an arbitrary function of } \theta'_{-i} \]

解釋：

沒有完全看懂。大概的意思是對於First-best decision rule \(x^*(\cdot)\)，
可以找到一個轉移規則\((m_1(\cdot), \cdots, m_n(\cdot))\)，
讓選擇規則成為一個在優勢策略中可實現。

下面是一個解：

• Pivotal Mechanism - a particular form of Vickrey-Clarke-Groves機制
  \[ h_i(\theta'_{-i}) = - \sum_{j \neq i} u_j(x_{-i}^*(\theta'_{-i}), \theta'_j) \where \x_{-i}^*(\theta'_{-i}) \in \arg \max_{x \in X} \sum_{j \neq i} u_j(x, \theta'_j) \Thus \m_i(\theta') = \sum_{j \neq i} u_j(x^*(\theta'_j, \theta'_{-i}), \theta'_j) - \sum_{j \neq i} u_j(x_{-i}^*(\theta'_{-i}), \theta'_j) \\]

參照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 01 - 單人決策問題
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 02 - 引入不確定性和時間
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 03 - 預備知識
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 04 - 理性和公共知識
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 05 - 納什均衡
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 06 - 混合的策略
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 07 - 完美信息的動態博弈 預備知識
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 08 - 完美信息的動態博弈 可信性和順序合理性
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 09 - 完美信息的動態博弈 多階段博弈
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 10 - 完美信息的動態博弈 重復的博弈
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 11 - 完美信息的動態博弈 戰略協議
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 12 - 不完整信息的靜態博弈 貝葉斯博弈
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 13 - 不完整信息的靜態博弈 拍賣和競標
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 14 - 不完整信息的靜態博弈 機制設計
• Nash bargaining solution
• Mechanism design

讀書筆記: 博弈論導論 - 14 - 不完整信息的靜態博弈 機制設計