在【喬明達的省選專題】裏面有很多這樣的解題技巧：

把Σ*Σ類型的題O(n^2)轉化∑[n/i]∑[m/i]，除法下結果相同的部分合並，復雜度降低至O(√n+√m)。當然論文裏的題型應該說說很經典了。這裏再積累幾個基礎題型。

1，求前n個正整數的約數之和，即∑=σ(i) ，(i=1到n)。其中n≤10^12。

把除法下結果相同的部分合並，前面累加和用等差公式求和，復雜度為O(√n) 。

通俗理解公式： for(i=1;i<=n;i++) ans=ans+有因子i的數的個數=ans+n / i; (其中n/i=|i*1|+|i*2|+...+|i*(n/i)|，表示i是多少個數的因子)

例題： A New Function 。代碼：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll solve(int n)
{
    ll ans=0;
    int B=sqrt(n);
    for(int i=2;i<=B;i++){
        ans
 
+=(ll)(n/i-1)*i; //前面根號n個直接暴力，由於不要1和本身，所以這裏減一。 
        if(n/i>=B+1){       //後面合並商相同部分 ，L，R代表的是範圍(個數)。 
            ll L=B+1,R=n/i;
            ans+=(L+R)*(R-L+1)/2;
        }
    } return ans;
}
int main()
{
    int T,n,Case=0;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        printf(
 
"Case %d: %lld\n",++Case,solve(n));
    } return 0;
}

2，求前n個正整數的莫比烏斯函數之和，即∑=u(i)，其中n≤10^11

通俗理解公式：for(i=1;i<=n;i++) sum=sum+(u(1)+u(2)+u(3)+...u(j)) (其中，i*j<=n，表示以1到j為因子，i相同的合並)。

3，

數論的一些黑科技