4. 歸並排序

4.1 遞歸實現

　　函數的遞歸本質上是一個壓棧出棧的過程，更廣意義上來說，函數調用都是壓棧和出棧的過程，排序這一系列完了 ，我打算寫一下函數調用和棧的關系的一章，看看能不能把這個過程理解透徹一些。

　　具體來說歸並排序的遞歸實現。其主要思想是把待排序序列分為大小基本相同的兩個部分，分別對前後兩個部分進行同樣的操作，調用自身不斷壓棧。到最後一層只有一個元素後，棧空間彈出棧頂元素，按照原先的切割部位，進行merge操作，見圖 1。

　　merge操作是用i、j兩個變量來循環前一段元素和後一段元素，一個一個比較，小的就依次放在新排好的序列中，i（或j）+1，繼續往後比。最後剩余的元素一次性接在已排好序的元素後面即可，圖示見圖 2。非遞歸的merge比較簡單，按照壓棧時的切割部位合並即可，不會出現還有剩余的段沒有辦法merge的問題，非遞歸則會出現這種問題，詳細可以見下一節。

　　前面在說快速排序的時候提到，快速排序用了遞歸，歸並排序也用了遞歸，兩者的區別是什麽？區別在於快速排序做的是遞歸的前處理，即用pivotvalue讓前小後大；遞歸的歸並排序做的是遞歸的後處理，將切割後的元素用merge操作合並。

圖 1 遞歸的歸並排序

圖 2 merge操作（遞歸的後處理操作）

　　分析遞歸的歸並排序的時間復雜度，畫出遞歸樹可以發現，遞歸樹是完全二叉樹，所以其時間復雜度最好、最壞、平均都是O(nlgn)。

　　分析遞歸的歸並排序的空間復雜度，由於用到了遞歸棧，所以會用到額外的O(lgn)的空間；另外，在排序時還會用到額外的O(n)，所以其空間復雜度為O(n+lgn)。

　　歸並排序還有一個優點是它是穩定的。

　　總結其時間、空間復雜度、穩定性和適用場合如圖 3。

圖 3 遞歸的歸並排序相關

數據結構與算法小結——排序（七）