上一篇博文我們提到了圖的最短路徑問題：http://www.cnblogs.com/mm93/p/8434056.html。而最短路徑問題可以說是這樣的一個問題：路已經修好了，該怎麽從這兒走到那兒？但是在和圖有關的問題中，還有另一種有趣的問題：修路的成本已經知道了，該怎麽修路才能盡可能節約成本，同時將這些地方都連起來？

　　比如我們知道有這麽幾個城市，它們互相之間還沒有路：

　　經過實地考察後，發現可以修的路以及各條路的修路成本如下：

　　但是我們的預算有限，需要在修路時盡可能的省錢（也就是盡量減小所有邊的權重之和），同時保證圖中每一個城市總是能到達圖中任意一個城市，該怎麽修路呢？對於上圖來說，其中一個方案是這樣的，其總共的修路成本（即總權重）為8：

　　另一個方案是這樣的，略有不同，不過總成本也是8：

　　像這樣的問題，就是我們今天要討論的最小生成樹問題。為了更準確地說明什麽是最小生成樹，我們需要先了解一個概念：連通。對於一個無向圖而言，如果每個頂點到每個其它頂點都存在路徑，則該無向圖是連通的。而對於有向圖而言，道理相同又稍有變化，在有向圖中，若每個頂點到每個其它頂點都存在可行的路徑，則該有向圖是強連通的。比如下圖就不是一個強連通的有向圖，其中非v0頂點無法到達v0頂點：

　　但是如果我們將上面這個有向圖的邊都變為無向邊，我們就會得到一個無向圖，此無向圖即該有向圖的基礎圖（underlying graph）。如果一個有向圖非強連通，但是其基礎圖是連通的，我們就稱該有向圖是弱連通的。上面這個有向圖就是一個弱連通的有向圖。

　　明白了什麽是連通之後，接下來我們說說最小生成樹是什麽：在一個連通的無向圖的所有邊中，挑選出足以使所有頂點連通的那些邊，且這些邊的總權重不能更低，則這些邊與所有頂點構成的圖就是最小生成樹。“最小”的意思是其總權重是最小的，“生成”則是因為這個樹是從一個無向圖中找出來的，也即生成的。

　　等等_(:з」∠)_ 不是說“這些邊與所有頂點構成的圖”嗎，怎麽就成了樹？原因是這樣的，如果一個無向圖是連通的，那麽我們就能找出滿足上述條件的那個圖，而如果那個圖存在，那它一定是一棵樹（樹是特殊的圖嘛，這一點應該要懂的），比如本文前面所找出的最小生成圖，顯然是一棵樹：

　　為什麽稱最後找出來的頂點與邊的集合為最小生成樹，我們已經知道了，而為什麽最後找出來的一定是樹……咱能不糾結嗎 (￣.￣)

　　好了，接下來討論下一個問題：有向圖可以找出最小生成樹嗎？答案是可以，只要有向圖是強連通的。並且尋找有向圖的最小生成樹的過程也是基本一樣的，因為無向圖本就是以有向圖的形式存儲的（一條無向邊拆成兩條有向邊）。不過因為本文並不打算給出可運行的代碼，所以我們的討論以無向圖為基準，主要關註算法的思路，並且不考慮所給圖非連通的情況。

　　想要在圖中找出最小生成樹，有兩種算法可供選擇：Prim算法和Kruskal算法。因為Prim算法與尋找最短路徑的Dijkstra算法非常非常非常像，所以我們先來討論一下Prim算法。

　　Prim算法的思路是這樣的：

　　1.任選一個頂點，將其標為已知，即表示該頂點已在樹中（Dijkstra算法中，起點由我們指定）

　　2.找出所有已知頂點鄰接的未知頂點，其中與任一已知頂點的鄰接邊權重最小的未知頂點，我們將其標為已知，同時將其preV設為與其鄰接邊最小的已知頂點，且其distance設為該鄰接邊的權重（在Dijkstra算法中，我們用的是“指向”，因為要考慮到有向圖的情況，此外，Dijkstra算法中，我們將被標為已知的未知頂點的distance設為與其相連的已知頂點的distance加上邊的權重）

　　3.反復執行第二步，直至不存在已知頂點鄰接了未知頂點為止。

　　抽象的說，Prim算法就是隨機選一個頂點，將其拉進原先為空的樹中，然後不斷地通過盡可能小的邊將其他頂點拉進這棵樹中

　　老樣子，上述說法晦澀難懂 (￣.￣)。所以我們需要實際的走一遍來加深一下理解，以下圖為例：

　　假設我們以v3作為起點，則圖初始化後的狀態如下（頂點旁有紅圈表示該頂點已知，紅圈中即該頂點的preV，頂點的distance我們暫不考慮）：

　　接著，我們找出所有已知頂點（v3）鄰接的所有未知頂點：v0、v1、v2、v4、v5、v6。發現與已知頂點鄰接邊最小的未知頂點是v1、v4，其中未知頂點v1與已知頂點v3的鄰接邊權重為1，未知頂點v4與已知頂點v3的鄰接邊權重也為1，我們任選其一即可，比如選擇v1，然後將v1設為已知，v1.preV=v3：

　　繼續，我們找出所有已知頂點（v1、v3）鄰接的所有未知頂點：v0、v2、v4、v5、v6，發現與已知頂點鄰接邊最小的未知頂點是v0、v4，其中未知頂點v0與已知頂點v1的鄰接邊權重為1，未知頂點v4與已知頂點v1或v3的鄰接邊權重為1，我們任選其一，比如v4，然後將v4設為已知，v4.preV=v1（也可以是v4.preV=v3）：

　　繼續，我們找出所有已知頂點（v1、v3、v4）鄰接的所有未知頂點：v0、v2、v5、v6，發現與已知頂點鄰接邊最小的未知頂點是v0、v6，其中未知頂點v0與已知頂點v1的鄰接邊權重為1，未知頂點v6與已知頂點v4的鄰接邊權重為1，我們選v6，將v6設為已知，v6.preV=v4：

　　繼續，我們找出所有已知頂點鄰接的所有未知頂點：v0、v2、v5，其中與已知頂點的鄰接邊最小的是v0，未知頂點v0與已知頂點v1的鄰接邊權重為1，我們將v0設為已知，v0.preV=v1：

　　繼續，找出所有已知頂點鄰接的所有未知頂點：v2、v5，發現其中未知頂點v5與已知頂點v6的鄰接邊權重最小為2，所以我們將v5設為已知，v5.preV=v6：

　　繼續，找出所有已知頂點鄰接的所有未知頂點：v2，其中未知頂點v2與已知頂點v5的鄰接邊權重最小，所以我們將v2設為已知，v2.preV=v5:

　　繼續，發現已經沒有哪個已知頂點鄰接了未知頂點，所以算法結束。

　　接下來，我們只要進行這兩步操作就可以得出最小生成樹：

　　1.將每個頂點與其preV相連的邊標為已知

　　2.將非已知的邊刪去。

　　將每個頂點與其preV相連的邊標為已知（註意，v3的preV是自身，此情況我們不做任何操作即可）：

　　刪去非已知的邊：

　　當然，在實際編程中，有可能並不會執行這兩個操作，我們只要在將最小生成樹的相關信息保存在pathTable中即可，本例中算法結束後pathTable應為如下（與Dijkstra算法使用的pathTable略有不同：沒有distance域）：

　　當然，我們也可以使用和Dijkstra算法時一樣的pathTable，即加上distance域，不過在計算最小生成樹時，一個頂點的distance域應該是其與preV鄰接的邊的權重：

　　在我們走一遍Prim算法時，我們發現v4.preV既可以設為v3，也可以設為v1，這就已經說明了一點：一個圖的最小生成樹並不一定是唯一的。不過還要註意的是：一個圖即便有多個最小生成樹，它們的總權重也應該是一樣的。

　　如果你回顧一遍Prim算法和Dijkstra算法，就會發現，Prim算法與Dijkstra算法的區別可以說就兩個：

　　1.Prim算法的“起點”是任選的，Dijkstra算法是給定的（畢竟要找的是單源最短路徑）

　　2.Prim算法在將一個未知頂點設為已知時，其distance設為其與已知頂點的最小鄰接邊的weight，而Dijkstra算法則是設為已知頂點.distance+weight

　　換句話說，Prim算法就是稍稍修改了一下的Dijkstra算法。如果你仔細觀察我們用Prim算法生成的樹，你會發現從v3出發到任意頂點的路徑恰好是v3到該頂點的最短路徑：

　　接下來本應討論Kruskal算法，但是我忽然發現我之前忘了寫一篇關於樹的集合與不相交集的博文(⊙?⊙)。如果要討論Kruskal算法，這兩個預備知識是必不可少的，而如果這兩個知識也要講解的話，博文就太長了Orz。所以我只簡單說說Kruskal的思路。

　　在Prim算法中，我們是以已知頂點（即已在最小生成樹中的頂點）為基礎，不斷地將未知頂點拉進樹中。而Kruskal算法則是另一種思路：以當前最小的邊為基礎，不斷地將未知頂點拉進樹中（這個過程可能產生多棵樹）。

　　以下圖為例，我們走一遍Kruskal算法：

　　首先，我們需要將邊按權重從小到大排序，才能找“當前最小邊”：

　　先是處理當前最小邊[v0，v1]，其所連接的兩個頂點均未知，所以我們將它們均設為已知，並連起來：

　　然後處理下一個當前最小邊[v1，v3]，其所連接的v3未知，將v3設為已知，連起來：

　　接著處理邊[v3，v4]，其連接的v4未知，將v4設為已知，連起來：

　　接著處理邊[v1，v4]，其連接的兩個頂點均為已知，故跳過

　　接著處理邊[v4，v6]，其連接的v6未知，將v6設為已知，連起來：

　　接著處理邊[v2，v5]，其連接的v2和v5均為未知，所以將v2、v5均設為已知，連起來（註意，此時產生了兩棵樹）：

　　接著處理邊[v5，v6]，其連接的頂點均為已知，但是v5和v6處於不同的樹，所以我們將其連起來（這部分的相關判斷和處理需要樹的集合知識，以及不相交集數據結構）：

　　接下來處理的所有邊都是所連接頂點已知，且所連接頂點處於同一棵樹中，所以均會跳過，然後算法結束。

　　沒有掌握住博文的順序和鋪墊，實在是失敗￣△￣

　　不過Kruskal算法的思路我想我應該講清楚了，就是Dijkstra算法和Prim算法的講解可能太生硬了一些，但是細細地讀、細細地理解、細細地過一遍，應該還是能明白的?ω?

　　這個系列的博文的主體部分到這兒就算結束了，從第一篇博文一路看到這兒的話，基本的數據結構和算法應該都能掌握。而像什麽B+樹、紅黑樹、算法設計技巧等更特殊的知識我沒有算在主體部分中，以後可能會以“淺入淺出數據結構（附）”的標題形式寫出。

淺入淺出數據結構（25）——最小生成樹問題