統計學知識小結
統計量及其統計抽樣分布
統計量
def.統計量
\(\quad\quad\) 不依賴於任何未知參數，僅與樣本相關的量，一般記為\(T(X_1, \ldots,X_n)\)
常用統計量
\(\quad\quad\) \(m_k =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^k\) 樣本k階(原點)矩 反映 總體k階矩
\(\quad\quad\) $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i $樣本均值 反映 總體X數學期望，即樣本一階原點矩
\(\quad\quad\) \(\nu_k = \frac{1}{n-1} \sum_{i-1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\)
\(\quad\quad\) \(S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2\) 樣本方差 反映 總體X方差，即樣本二階中心矩
\(\quad\quad\) 值得註意的是：
\(\quad\quad\)\(\quad\quad\) 中心距的\(\frac{1}{n}\) 被修正為\(\frac{1}{n-1}\)
次序統計量
\(\quad\quad\) 如中位數，分位數，極差等，都是由次序決定的一類重要統計量
充分統計量
\(\quad\quad\) 假如某個統計量被提取後能 包含 有關總體的全部信息，稱其為充分統計量
\(\quad\quad\) 比如，當已知\(X=(X_1,\ldots,X_n)\) 為來自\(N(\mu, \sigma^2)\) ，
\(\quad\quad\)\(\quad\quad\quad\)若\(\sigma^2\) 已知，則認為\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\) 為 \(\mu\) 的 充分統計量
漸近分布
\(\quad\quad\) 我們想要知道當樣本量\(n\to\infty\) 時，統計量\(T(X_1, \ldots,X_n)\) 的極限分布會是怎麽樣
\(\quad\quad\) 比如在下文中的中心極限定理，其實就是在說\(\frac{\sqrt{n}\thinspace \overline{X}} {\sigma} \to N(0,1)\)
\(\quad\quad\) 同時我們也不難知道\(S^2 \to \sigma ^2\) ，因此其實可以說\(\frac{\sqrt{n}\thinspace \overline{X}} {S} \to N(0,1)\)
正態分布導出的統計學三大分布
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