1.

先講的堆，其實上周的dijkstra就有涉及到堆的內容，但是這周才詳細的講堆本身。堆邏輯上是一個二叉樹，父節點的值比兩個子節點都要大（或者比兩個小）。堆是一個完全二叉樹，所以很適合直接就用數組表示，因為父節點和字節點的位置關系是確定的（2n和2n+1）。

堆的特點是它一直把最大/最小值放在根節點，因此如果你的需求是需要不停的對一組動態的數據求max/min，那麽你就可以用堆來優化。當然，除了extract min/max以外一般還需要同時做插入數據之類的操作，否則就是靜態數據了，如果是靜態數據直接數組就行了。

（1）對一個排好的堆做insert操作，就是把插入的數據放在堆的最末尾，然後看它是不是比父節點小（假設是min堆），如果是就沒啥問題，不是的話就和父節點交換（把父節點擠下來）然後再和新的父節點比，直到比父節點小為止。這個動作很顯然是O（lg n）的。

（2）另外一個常用操作就是extract min了，畢竟這就是堆的本職工作。步驟是把根節點pop掉後，用尾部的結點代替根節點。當然這時候的堆顯然不太對，所以新的根節點需要不停的和自己比較小的子節點交換，直到沒有子節點，或者比所有子節點都小為止。這個動作也是O（lg n）的。

一般來說，heap做的操作時間復雜度看起來和二叉樹差不多，而且heap還不能同時保存min和max，而二叉樹卻可以。但是heap的優勢是，大部分操作heap的時間復雜度常數以及空間復雜度都要更好些。

2.

下一個話題就是二叉樹了，或者具體說是平衡二叉搜索樹。對於數據結構來說，一個排好的數組看起來已經很強大了，但是它很難處理動態的數據，因為它的插入或刪除操作很可能是O（n），這就比較僵硬。所以當你需要頻繁插入或刪除的時候，就需要使用平衡二叉樹，來得到O（lg n）的性能。

先說普通非平衡的二叉搜索樹，二叉搜索樹的特征就是對於父節點來說，左邊子樹的所有值都比它小，而右邊子樹都更大。對這樣的樹搜索，自然非常方便，從根節點搜起，左拐右拐就拐到了。insert的話其實和search一樣，就是先search你要插入的那個數據，然後把數據插進search到的應該出現的位置就對了。

（1）求max或者min，就是從根節點找起，一直向左拐或者一直向右拐，直到到頭為止，很簡單很直觀。

（2）找某個結點的數值上的前一個結點：如果該結點有左子樹，那麽找到左子樹的max結點；如果左子樹是空的，那麽就順著父節點向上爬，爬到第一個比它小的就是他的前一個結點了。找數值上的後一個結點也一樣，把左右顛倒下就行。

（3）把二叉搜索樹輸出為有序數組：一個大量遞歸的算法。對於給定的根節點，先對他的左子樹遞歸這個算法，然後打印根節點，然後對右子樹遞歸這個算法。這裏應該需要一個判定條件，如果只有一個子樹就遞歸這個子樹就好。沒有子樹就是base case，直接打印葉子結點。

（4）對二叉搜索樹的結點做刪除操作：如果是葉子，直接刪掉就好。如果該結點只有一個子樹，那麽把他刪掉，然後把他的父節點和子樹連上就行。如果是兩個子樹都有，就比較麻煩，需要找出他左子樹的max結點，然後把max結點和待煽節點交換，交換後待刪結點是只有左子樹或者沒子樹的，那麽用前面兩個方法之一處理就好。

（5）對二查搜索樹做select操作：就是找出該樹第i大的數據。對這種操作，我們需要一個輔助數據，就是我們要知道每個節點的size。size就是這個節點的左右子樹（如果有的話）連同他自己的所有結點的數量。求一個節點的size顯然用遞歸就好，比較簡單。不過insert和delete操作之後需要對size更新，比較麻煩。

　　有了size之後就很簡單了，從root找起，如果左子樹的size剛好是i-1，那就是root了；如果左子樹的size比i-1大，那麽對左子樹遞歸；如果比i-1小，那麽對右子樹遞歸，不過要找的序數i要調整，有點像之前的R-selection算法。

後面還有紅黑樹的內容，明天再說吧，作業也明天做，這周內容好多。。。

2018.2.14 algo part2 heaps and trees