Description

Solution

移項: \(X\) \(xor\) \(2X=3X\)
因為 \(X+2X=3X\), 所以 \(X\) 和 \(2X\) 相同位置不能同時為\(1\),也就是說 \(X\) 的相鄰兩位不能同為\(1\)
數位DP解決即可,設 \(f[i][0/1][0/1]\) 表示前 \(i\) 位,該位是 \(0/1\) ,是否處於危險態的方案數

對於第二問:
由於 \(n\) 的二進制只有一位,所以上述DP不再需要記危險態這一維
用矩陣快速冪優化轉移即可,但是據說答案也可以是斐波那契數列,這樣寫不是更舒服麽....

#include<bits/stdc++.h>
 

using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll f[105][2][2],n;
inline void add(ll &x,ll y){x+=y;}
void solo(){
    memset(f,0,sizeof(f));
    int lim=0;
    for(int i=0;i<=60;i++)if((n>>i)&1)lim=i;
    f[lim][1][0]=1;f[lim][0][1]=1;
    for(int i=lim;i>=1;i--){
        for
 
(int j=0;j<2;j++)
            add(f[i-1][j][1],f[i][1][1]*(j!=1)+f[i][0][1]);
        for(int j=0;j<=((n>>(i-1))&1);j++){
            bool t=j<((n>>(i-1))&1);
            add(f[i-1][j][t],f[i][1][0]*(j!=1)+f[i][0][0]);
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<2;i++)
        for
 
(int j=0;j<2;j++)
            add(ans,f[0][i][j]);
    printf("%lld\n",ans-1);
}
struct mat{
    int a[3][3];
    mat(){memset(a,0,sizeof(a));}
    mat operator *(const mat &p)const{
        mat ret;
        for(int i=1;i<=2;i++)
            for(int j=1;j<=2;j++)
                for(int k=1;k<=2;k++)
                    ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+1ll*a[i][k]*p.a[k][j]%mod)%mod;
        return ret;
    }
};
void solve(ll k){
    if(k==-1){puts("2");return ;}
    mat A,B;
    A.a[1][1]=3;A.a[1][2]=2;
    B.a[1][1]=B.a[1][2]=B.a[2][1]=1;
    while(k){
        if(k&1)A=A*B;
        B=B*B;k>>=1;
    }
    printf("%d\n",A.a[1][1]);
}
void work(){
    scanf("%lld",&n);
    solo();solve(n-2);
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  int T;cin>>T;
  while(T--)work();
  return 0;
}

bzoj 3329: Xorequ