bzoj 3527: [Zjoi2014]力【FFT】
阿新 • • 發佈：2018-02-23
註意 math logs oid cpp 開始 ios 下標 ++
\[ f_j=F_j \]
\[ g_i=\frac{1}{i^2} \]
故
\[ F_i=a_i-b_i \]
先推ai
！註意j==i的情況下g函數為0不影響結果，所以方便起見把大於小於都換成了大於等於小於等於
\[ a_i=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(j-i)^2} \]
\[ =\sum_{j=0}^{i}\frac{q_j}{(i-j)^2} \]
\[ =\sum_{j=0}^{i}f_i*g_{i-j} \]
於是卷積*1get
再推bi
\[ b_i=\sum_{j>i}\frac{q_j}{(j-i)^2} \]
\[ =\sum_{j=i}^{n}\frac{q_j}{(j-i)^2} \]
然後用j+i替換j
\[ =\sum_{j+i=i}^{n}\frac{q_{j+i}}{(j+i-i)^2} \]
\[ =\sum_{j=0}^{n-i}\frac{q_{j+i}}{j^2} \]
\[ =\sum_{j=0}^{n-i}f_{j+i}\*g_j \]
然後用n-i-j替換j
\[ =\sum_{n-i-j=0}^{n-i}f_{n-i-j+i}*g_{n-i-j} \]
\[ =\sum_{0 \leq n-i-j \leq n-i}f_{n-i-j+i}*g_{n-i-j} \]
然後發現這樣轉化一下
\[ 0 \leq n-i-j\Rightarrow j \leq n-i \]
\[ n-i-j \leq n-i\Rightarrow 0 \leq j \]
\[ =\sum_{j=0}^{n-i}f_{n-j}*g_{n-i-j} \]
設
\[ f1_i=f_{n-i} \]
\[ =\sum_{j=0}^{n-i}f1_j*g_{n-i-j} \]
設
\[ t=n-i \]
\[ =\sum_{j=0}^{t}f1_j*g_{t-j} \]
於是卷積*2get
然後直接上FFT即可
！！！對於g函數，應該是g[i]=1.0/i/i ！！g[i]=1.0/(i*i)會炸精度！
大力推公式，目標是轉成卷積形式：\( C_i=\sum_{j=1}^{i}a_jb_{i-j} \)
首先下標從0開始存，n--
\[
F_i=\frac{\sum_{j<i}\frac{q_jq_i}{(j-i)^2}-\sum_{j>i}\frac{q_jq_i}{(j-i)^2}}{q_i}
\]
\[
F_i=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(j-i)^2}-\sum_{j>i}\frac{q_j}{(j-i)^2}
\]
設
\[
a_i=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(j-i)^2}
\]
\[
b_i=\sum_{j>i}\frac{q_j}{(j-i)^2}
\]
\[ f_j=F_j \]
\[ g_i=\frac{1}{i^2} \]
故
\[ F_i=a_i-b_i \]
先推ai
！註意j==i的情況下g函數為0不影響結果，所以方便起見把大於小於都換成了大於等於小於等於
\[ a_i=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(j-i)^2} \]
\[ =\sum_{j=0}^{i}\frac{q_j}{(i-j)^2} \]
\[ =\sum_{j=0}^{i}f_i*g_{i-j} \]
於是卷積*1get
再推bi
\[ b_i=\sum_{j>i}\frac{q_j}{(j-i)^2} \]
\[ =\sum_{j=i}^{n}\frac{q_j}{(j-i)^2} \]
然後用j+i替換j
\[ =\sum_{j+i=i}^{n}\frac{q_{j+i}}{(j+i-i)^2} \]
\[ =\sum_{j=0}^{n-i}\frac{q_{j+i}}{j^2} \]
\[ =\sum_{j=0}^{n-i}f_{j+i}\*g_j \]
然後用n-i-j替換j
\[ =\sum_{n-i-j=0}^{n-i}f_{n-i-j+i}*g_{n-i-j} \]
\[ =\sum_{0 \leq n-i-j \leq n-i}f_{n-i-j+i}*g_{n-i-j} \]
然後發現這樣轉化一下
\[ 0 \leq n-i-j\Rightarrow j \leq n-i \]
\[ n-i-j \leq n-i\Rightarrow 0 \leq j \]
\[ =\sum_{j=0}^{n-i}f_{n-j}*g_{n-i-j} \]
設
\[ f1_i=f_{n-i} \]
\[ =\sum_{j=0}^{n-i}f1_j*g_{n-i-j} \]
設
\[ t=n-i \]
\[ =\sum_{j=0}^{t}f1_j*g_{t-j} \]
於是卷積*2get
然後直接上FFT即可
！！！對於g函數，應該是g[i]=1.0/i/i ！！g[i]=1.0/(i*i)會炸精度！
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,lm,bt,re[N];
struct cd
{
double r,i;
cd(double R=0,double I=0)
{
r=R,i=I;
}
cd operator + (cd &a) const
{
return cd(r+a.r,i+a.i);
}
cd operator - (cd &a) const
{
return cd(r-a.r,i-a.i);
}
cd operator * (cd &a) const
{
return cd(r*a.r-i*a.i,r*a.i+i*a.r);
}
}f[N],f1[N],g[N],a[N],b[N];
void dft(cd a[],int f)
{
for(int i=1;i<lm;i++)
if(i<re[i])
swap(a[i],a[re[i]]);
for(int i=2;i<=lm;i<<=1)
{
cd wi=cd(cos(2.0*M_PI/i),f*sin(2.0*M_PI/i));
for(int k=0;k<lm;k+=i)
{
cd w=cd(1,0),x,y;
for(int j=0;j<(i>>1);j++)
{
x=a[j+k];
y=a[j+k+(i>>1)]*w;
a[j+k]=x+y;
a[j+k+(i>>1)]=x-y;
w=w*wi;
}
}
}
if(f==-1)
for(int i=0;i<lm;i++)
a[i].r/=lm;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
n--;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
scanf("%lf",&f[i].r);
f1[n-i].r=f[i].r;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
g[i].r=1.0/i/i;
for(int i=0;;i++)
if((1<<i)>2*n)
{
bt=i;
lm=(1<<i);
break;
}
for(int i=0;i<lm;i++)
re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1));
dft(f,1);
dft(f1,1);
dft(g,1);
for(int i=0;i<lm;i++)
{
a[i]=f[i]*g[i];
b[i]=f1[i]*g[i];
}
dft(a,-1);
dft(b,-1);
for(int i=0;i<=n;i++)
printf("%.3f\n",a[i].r-b[n-i].r);
return 0;
}bzoj 3527: [Zjoi2014]力【FFT】