【轉】談“P=NP?”
阿新 • • 發佈：2018-03-03
遞歸 身邊 圖靈機 產出 數字 pos 整數 amp 關系 “P=NP?” 通常被認為是計算機科學最重要的問題。有一個叫Clay Math的研究所，甚至懸賞 100 萬美元給解決它的人。可是我今天要告訴你的是，這個問題其實是不存在的，它根本不需要解決。
我並不是第一個這樣認為的人。在很早的時候就有個數學家毫不客氣的指出，P=NP? 是個愚蠢的問題，並且為了嘲笑它，專門在愚人節寫了一篇“論文”，稱自己證明了 P=NP。我身邊有一些非常聰明的人，他們基本也都不把這問題當回事。如果我對他們講這些東西，恐怕是 TOO OLD。可是我發現國內的計算機專業學生，提到這個問題總是奉為神聖，一點玩笑也開不得，所以我打算在這裏科普一下。
這是一個不大好解釋的問題。首先，你要搞清楚什麽是“P=NP?” 為此，你必須先了解一下什麽是“算法復雜度”。為此，你又必須先了解什麽是“算法”。
你可以簡單的把“算法”想象成一臺機器，就跟絞肉機似的。你給它一些“輸入”，它就給你一些“輸出”。比如，絞肉機的輸入是肉末，輸出是肉渣。牛的輸入是草，輸出是奶（或者牛米田共）。“加法器”的輸入是兩個整數，輸出是這兩個整數的和。“算法理論”所討論的問題，就是如何設計這些機器，讓它們更加有效的工作。就像是說如何培育出優質的奶牛，吃進相同數量的草，更快的產出更多的奶。
通常所謂的“計算問題”，都需要算法經過一定時間的工作（也叫“計算”），才能得到結果。計算所需要的時間，往往跟輸入的大小有關系。你的牛吃的草越多，它就需要越長時間，才能把草都變成奶。這種草和奶的轉換速度，通常被叫做“算法復雜度”。
算法復雜度通常被表示為一個函數 f(n)，其中 n 是輸入的大小。這個函數的值，通常是某種資源的需求量，比如時間或者空間。比如，如果你的算法時間復雜度為 n2，那麽當輸入10個東西的時候，它需要 100 個單元的時間才能完成計算。當輸入 100 個東西的時候，它需要 10000 個單元的時間才能完成。當輸入 1000 個數據的時候，它需要 1000000 個單元的時間。簡單吧。
所謂的“P時間”，就是“Polynomial time”，多項式時間。簡而言之，就是說這個復雜度函數 f(n) 是一個多項式。多項式你該知道是什麽吧？不知道的話就翻一下中學數學課本。
“P=NP?”中的“P”，就是指所有這些復雜度為多項式的算法的“集合”，也就是“所有”的復雜度為多項式的算法。為了簡要的描述以下的內容，我定義一些術語：
“f(n) 時間算法” = “能夠在 f(n) 時間之內，解決某個問題的算法”
當 f(n) 是個多項式（比如 n2）的時候，這就是“多項式時間算法”（P 時間算法）。當 f(n) 是個指數函數（比如 2n）的時候，這就是“指數時間算法”（EXPTIME 算法）。很多人認為 NP 問題就是需要指數時間的問題，而 NP 跟 EXPTIME，其實是風馬牛不相及的。很顯然，P 不等於 EXPTIME，但是 P 是否等於 NP，卻沒有一個結論。
現在我來解釋一下什麽是 NP。通常的計算機都是確定性（deterministic）的，它們在同一個時刻只能有一種行為。如果用程序來表示，那麽它們遇到一個條件判斷（分支）的時候，只能一次探索其中一條路徑。比如：
if (x == 0) { one(); } else { two(); }
在這裏，根據 x 的值是否為零，one() 和 two() 這兩個操作，只有一個會發生。
然而，有人幻想出來一種機器，叫做“非確定性計算機”（nondeterministic computer），它可以同時運行這程序的兩個分支，one() 和 two()。這有什麽用處呢？它的用處就在於，當你不知道 x 的大小的時候，根據 one() 和 two() 是否“運行成功”，你可以推斷出 x 是否為零。
這種非確定性的計算機，在“計算理論”裏面叫做“非確定性圖靈機”。與之相對的就是“確定性圖靈機”，也就是通常所謂的“計算機”。其實，“圖靈機”這名字在這裏完全無關緊要。你只需要知道，非確定性的計算機可以同時探索多種可能性。
這不是普通的“並行計算”，因為每當遇到一個分支點，非確定性計算機就會產生新的計算單元，用以同時探索這些路徑。這機器就像有“分身術”一樣。當這種分支點存在於循環（或者遞歸）裏面的時候，它就會反復的產生新的計算單元，新的計算單元又產生更多的計算單元，就跟細胞分裂一樣。一般的計算機都沒有這種“超能力”，它們只有固定數目的計算單元。所以他們只能先探索一條路徑，失敗之後，再回過頭來探索另外一條。所以它們似乎要多花一些時間才能得到結果。
到這裏，基本的概念都有了定義，於是我們可以圓滿的給出 P 和 NP 的定義。
P 和 NP 是這樣兩個“問題的集合”： P = “確定性計算機”能夠在“多項式時間”解決的所有問題 NP = “非確定性計算機”能夠在“多項式時間”解決的所有問題
（註意它們的區別，僅在於“確定性”或者是“非確定性”。）
定義完畢。現在回到對“P=NP?”問題的討論。
“P=NP?”問題的目標，就是想要知道 P 和 NP 這兩個集合是否相等。為了證明兩個集合（A 和 B）相等，一般都要證明兩個方向：
1. A 包含 B 2. B 包含 A
你也許已經看出來了，NP 肯定包含了 P。因為任何一個非確定性機器，都能被當成一個確定性的機器來用。你只要不使用它的“超能力”，在每個分支點只探索一條路徑就行。所以“P=NP?”問題的關鍵，就在於 P 是否也包含了 NP。也就是說，對於所有的非確定性多項式時間算法能解決的問題（NP），能否找到確定性的多項式時間算法。
首先我們來細看一下什麽是多項式時間（Polynomial time）。我們都知道，n2是多項式，n1000000也是多項式。多項式與多項式之間，卻有天壤之別。把解決問題所需要的時間，用“多項式”這麽籠統的概念來描述，其實是非常不準確的做法。在實際的大規模應用中，n2的算法都嫌慢。能找到“多項式時間”的算法，其實根本不能說明問題。
對此理論家們喜歡說，就算再大的多項式(比如 n1000000)，也不能和再小的指數函數（比如 1.0001n）相比，因為總是“存在”一個 M，當 n > M 的時候，1.0001n會超過 n1000000。可是問題的關鍵，卻不在於 M 的“存在”，而在於 它的“大小”。如果你的輸入必須達到天文數字才能讓指數函數超過多項式的話，那麽還不如就用指數復雜度的算法。所以，“P=NP?”這問題的錯誤就在於，它並沒有針對我們的實際需要，而是首先假設了我們有“無窮大”的輸入，有“無窮多”的時間和耐心，可以讓多項式時間的算法“最終”得到優勢。“無窮”和“最終”，就是理論家們的殺手鐧。
為了顯示這個問題，我們可以畫一個坐標曲線，來比較一下 n1000000與 2n，並且解出它們相等時的 n。我不用 1.0001n來比，免得有人說我不公平。我喜歡偷懶，經常用 Mathematica 來解決這些算式。下面就是我用它得出的結果和曲線圖：
你看到了，當 1 < n < 24549200 的時候，我們都有 2n< n1000000（n1000000那根曲線，一超過1就沖上天去了）。 所以只要輸入沒有達到2千萬這個量級，2n的算法都比 n1000000的算法快。
n1000000也許不說明問題，但是“多項式”的範圍實在太大了。n10100，n1010100，…… 都是多項式。實際上，只要 c 是個常數，任何常數，nc就是個多項式。
你也許發現了，其實上面的論述根本沒必要用 n10100這麽大的多項式，只要用一個很大的常數（比如 10100）就夠了，因為常數也算是多項式。使用多項式的原因，只是想演示一下多項式可以有多大。
所以你看到了，常數，指數，輸入的大小，對於算法的性能都是很關鍵的。“P=NP?”的問題就在於它用“多項式”這個籠統的概念抹殺了所有這些細節，以至於即使 P=NP 被證明出來，我們仍然不會得到可以實用的結果。
正確的做法，應該是找到整個算法（代碼）的具體的復雜度函數，最好細致到常數。比如 3.65n2 + 21n + 1000，做出類似上面所示的曲線圖，然後根據具體輸入的大小，看看哪個算法更快一些。在這一點上，Knuth 在 TAOCP 中對算法的細致入微的分析，確實是值得借鑒的（雖然我不贊成他使用機器語言）。
對於“P=NP?”的興趣，到此就應該已經結束了。可是理論家們又搬出來一個很勉強的借口來支持解決它的意義。他們說，如果證明了 P≠NP，那麽人們就不用浪費時間去為 NP 問題尋找多項式時間算法了。推翻這一點本來已經沒有多大意思，不過我發現一個挺有趣的觀點，可以將這問題的正反兩方面一並推翻。
首先，我們已經知道“非確定性計算機”是一個假想出來的機器。我並不是說我們永遠不能造出非確定性計算機，但可以肯定的是，現在這種機器不存在。相反，我們已經有確定性計算機，我們每天都在使用它。
所以要解決“P=NP?”，就是要解決：
“我們現有的計算機能否解決某種不存在的計算機能解決的所有問題？”
你看出這個問題的荒誕性了嗎？
記得在 Cornell 的時候，有一個 MIT 研究量子計算的博士生來求教職，給我們做了一個演講，是關於量子計算機的“局限性”。他演講的副標題叫做：
“What you cannot do with a computer that you do not have？” “你不能用你沒有的機器做什麽？”
你看出這個問題與“P=NP?”的異曲同工之妙了嗎？最後可想而知，Cornell 沒有聘用他。
我並不是第一個這樣認為的人。在很早的時候就有個數學家毫不客氣的指出，P=NP? 是個愚蠢的問題，並且為了嘲笑它，專門在愚人節寫了一篇“論文”，稱自己證明了 P=NP。我身邊有一些非常聰明的人，他們基本也都不把這問題當回事。如果我對他們講這些東西，恐怕是 TOO OLD。可是我發現國內的計算機專業學生，提到這個問題總是奉為神聖，一點玩笑也開不得，所以我打算在這裏科普一下。
這是一個不大好解釋的問題。首先，你要搞清楚什麽是“P=NP?” 為此，你必須先了解一下什麽是“算法復雜度”。為此，你又必須先了解什麽是“算法”。
你可以簡單的把“算法”想象成一臺機器，就跟絞肉機似的。你給它一些“輸入”，它就給你一些“輸出”。比如，絞肉機的輸入是肉末，輸出是肉渣。牛的輸入是草，輸出是奶（或者牛米田共）。“加法器”的輸入是兩個整數，輸出是這兩個整數的和。“算法理論”所討論的問題，就是如何設計這些機器，讓它們更加有效的工作。就像是說如何培育出優質的奶牛，吃進相同數量的草，更快的產出更多的奶。
通常所謂的“計算問題”，都需要算法經過一定時間的工作（也叫“計算”），才能得到結果。計算所需要的時間，往往跟輸入的大小有關系。你的牛吃的草越多，它就需要越長時間，才能把草都變成奶。這種草和奶的轉換速度，通常被叫做“算法復雜度”。
算法復雜度通常被表示為一個函數 f(n)，其中 n 是輸入的大小。這個函數的值，通常是某種資源的需求量，比如時間或者空間。比如，如果你的算法時間復雜度為 n2，那麽當輸入10個東西的時候，它需要 100 個單元的時間才能完成計算。當輸入 100 個東西的時候，它需要 10000 個單元的時間才能完成。當輸入 1000 個數據的時候，它需要 1000000 個單元的時間。簡單吧。
所謂的“P時間”，就是“Polynomial time”，多項式時間。簡而言之，就是說這個復雜度函數 f(n) 是一個多項式。多項式你該知道是什麽吧？不知道的話就翻一下中學數學課本。
“P=NP?”中的“P”，就是指所有這些復雜度為多項式的算法的“集合”，也就是“所有”的復雜度為多項式的算法。為了簡要的描述以下的內容，我定義一些術語：
“f(n) 時間算法” = “能夠在 f(n) 時間之內，解決某個問題的算法”
當 f(n) 是個多項式（比如 n2）的時候，這就是“多項式時間算法”（P 時間算法）。當 f(n) 是個指數函數（比如 2n）的時候，這就是“指數時間算法”（EXPTIME 算法）。很多人認為 NP 問題就是需要指數時間的問題，而 NP 跟 EXPTIME，其實是風馬牛不相及的。很顯然，P 不等於 EXPTIME，但是 P 是否等於 NP，卻沒有一個結論。
現在我來解釋一下什麽是 NP。通常的計算機都是確定性（deterministic）的，它們在同一個時刻只能有一種行為。如果用程序來表示，那麽它們遇到一個條件判斷（分支）的時候，只能一次探索其中一條路徑。比如：
if (x == 0) { one(); } else { two(); }
在這裏，根據 x 的值是否為零，one() 和 two() 這兩個操作，只有一個會發生。
然而，有人幻想出來一種機器，叫做“非確定性計算機”（nondeterministic computer），它可以同時運行這程序的兩個分支，one() 和 two()。這有什麽用處呢？它的用處就在於，當你不知道 x 的大小的時候，根據 one() 和 two() 是否“運行成功”，你可以推斷出 x 是否為零。
這種非確定性的計算機，在“計算理論”裏面叫做“非確定性圖靈機”。與之相對的就是“確定性圖靈機”，也就是通常所謂的“計算機”。其實，“圖靈機”這名字在這裏完全無關緊要。你只需要知道，非確定性的計算機可以同時探索多種可能性。
這不是普通的“並行計算”，因為每當遇到一個分支點，非確定性計算機就會產生新的計算單元，用以同時探索這些路徑。這機器就像有“分身術”一樣。當這種分支點存在於循環（或者遞歸）裏面的時候，它就會反復的產生新的計算單元，新的計算單元又產生更多的計算單元，就跟細胞分裂一樣。一般的計算機都沒有這種“超能力”，它們只有固定數目的計算單元。所以他們只能先探索一條路徑，失敗之後，再回過頭來探索另外一條。所以它們似乎要多花一些時間才能得到結果。
到這裏，基本的概念都有了定義，於是我們可以圓滿的給出 P 和 NP 的定義。
P 和 NP 是這樣兩個“問題的集合”： P = “確定性計算機”能夠在“多項式時間”解決的所有問題 NP = “非確定性計算機”能夠在“多項式時間”解決的所有問題
（註意它們的區別，僅在於“確定性”或者是“非確定性”。）
定義完畢。現在回到對“P=NP?”問題的討論。
“P=NP?”問題的目標，就是想要知道 P 和 NP 這兩個集合是否相等。為了證明兩個集合（A 和 B）相等，一般都要證明兩個方向：
1. A 包含 B 2. B 包含 A
你也許已經看出來了，NP 肯定包含了 P。因為任何一個非確定性機器，都能被當成一個確定性的機器來用。你只要不使用它的“超能力”，在每個分支點只探索一條路徑就行。所以“P=NP?”問題的關鍵，就在於 P 是否也包含了 NP。也就是說，對於所有的非確定性多項式時間算法能解決的問題（NP），能否找到確定性的多項式時間算法。
首先我們來細看一下什麽是多項式時間（Polynomial time）。我們都知道，n2是多項式，n1000000也是多項式。多項式與多項式之間，卻有天壤之別。把解決問題所需要的時間，用“多項式”這麽籠統的概念來描述，其實是非常不準確的做法。在實際的大規模應用中，n2的算法都嫌慢。能找到“多項式時間”的算法，其實根本不能說明問題。
對此理論家們喜歡說，就算再大的多項式(比如 n1000000)，也不能和再小的指數函數（比如 1.0001n）相比，因為總是“存在”一個 M，當 n > M 的時候，1.0001n會超過 n1000000。可是問題的關鍵，卻不在於 M 的“存在”，而在於 它的“大小”。如果你的輸入必須達到天文數字才能讓指數函數超過多項式的話，那麽還不如就用指數復雜度的算法。所以，“P=NP?”這問題的錯誤就在於，它並沒有針對我們的實際需要，而是首先假設了我們有“無窮大”的輸入，有“無窮多”的時間和耐心，可以讓多項式時間的算法“最終”得到優勢。“無窮”和“最終”，就是理論家們的殺手鐧。
為了顯示這個問題，我們可以畫一個坐標曲線，來比較一下 n1000000與 2n，並且解出它們相等時的 n。我不用 1.0001n來比，免得有人說我不公平。我喜歡偷懶，經常用 Mathematica 來解決這些算式。下面就是我用它得出的結果和曲線圖：
你看到了，當 1 < n < 24549200 的時候，我們都有 2n< n1000000（n1000000那根曲線，一超過1就沖上天去了）。 所以只要輸入沒有達到2千萬這個量級，2n的算法都比 n1000000的算法快。
n1000000也許不說明問題，但是“多項式”的範圍實在太大了。n10100，n1010100，…… 都是多項式。實際上，只要 c 是個常數，任何常數，nc就是個多項式。
你能想象 n 需要多大，2n才能超過 n10100嗎？當 n=2 的時候，n10100就是 210100。你也許已經意識到，這個數相當於 2n復雜度的算法，接受了 10100個輸入。如果你知道 10100（1的後面跟100個0）已經大於宇宙中基本粒子的數目，你也許就會意識到，這是在計算宇宙裏所有的粒子的“冪集”（power set），也就是在枚舉宇宙裏所有粒子的所有組合。通俗一點說，就是在枚舉宇宙裏所有可能出現的物體。當任何超級電腦完成這個任務的時候，宇宙恐怕都已經不存在了。況且這個計算是根本無法完成的，因為即使每個粒子可以提供一次計數所需要的能量（E=MC2），你會在還沒有數到 10100的時候就用光宇宙裏所有的能量。最後，因為這兩個 n 是同步的，所以當 2n的輸入是 10100的時候，n10100等於 (10100)10100。所以即使枚舉了宇宙裏所有可能出現的物體，2n仍然遠遠落後於 n10100。
你也許發現了，其實上面的論述根本沒必要用 n10100這麽大的多項式，只要用一個很大的常數（比如 10100）就夠了，因為常數也算是多項式。使用多項式的原因，只是想演示一下多項式可以有多大。
所以你看到了，常數，指數，輸入的大小，對於算法的性能都是很關鍵的。“P=NP?”的問題就在於它用“多項式”這個籠統的概念抹殺了所有這些細節，以至於即使 P=NP 被證明出來，我們仍然不會得到可以實用的結果。
正確的做法，應該是找到整個算法（代碼）的具體的復雜度函數，最好細致到常數。比如 3.65n2 + 21n + 1000，做出類似上面所示的曲線圖，然後根據具體輸入的大小，看看哪個算法更快一些。在這一點上，Knuth 在 TAOCP 中對算法的細致入微的分析，確實是值得借鑒的（雖然我不贊成他使用機器語言）。
對於“P=NP?”的興趣，到此就應該已經結束了。可是理論家們又搬出來一個很勉強的借口來支持解決它的意義。他們說，如果證明了 P≠NP，那麽人們就不用浪費時間去為 NP 問題尋找多項式時間算法了。推翻這一點本來已經沒有多大意思，不過我發現一個挺有趣的觀點，可以將這問題的正反兩方面一並推翻。
首先，我們已經知道“非確定性計算機”是一個假想出來的機器。我並不是說我們永遠不能造出非確定性計算機，但可以肯定的是，現在這種機器不存在。相反，我們已經有確定性計算機，我們每天都在使用它。
所以要解決“P=NP?”，就是要解決：
“我們現有的計算機能否解決某種不存在的計算機能解決的所有問題？”
你看出這個問題的荒誕性了嗎？
記得在 Cornell 的時候，有一個 MIT 研究量子計算的博士生來求教職，給我們做了一個演講，是關於量子計算機的“局限性”。他演講的副標題叫做：
“What you cannot do with a computer that you do not have？” “你不能用你沒有的機器做什麽？”
你看出這個問題與“P=NP?”的異曲同工之妙了嗎？最後可想而知，Cornell 沒有聘用他。
【轉】談“P=NP?”