抽象代數學習筆記（15）環
定義：設集合\(R\)上有兩種二元運算，一個叫加法，記為\(+\);一個叫乘法，記為\(*\)，且\((R,+)\)是個交換群；乘法\(*\)在\(R\)上是結合的；對任意\(a,b,c\in R\)，都有\(a*(b+c)=a*b+a*c,(b+c)*a=b*a+c*a\)，則說\((R,+,*)\)是個結合環，簡單地，說它是個環。
例如：整數集，有理數集，復數集在相應的運算下分別是個環。
一般而言，要證明某個代數系統是環時，要仔細考慮其上算律，尤其是分配律的證明，當滿足了一側的分配律時，另一側的分配律未必是同理可證。
定義：設\((R,+,*)\)是個環，如果\(R\)的乘法有單位元\(e\)
，則說\(R\)是個有單位元環或者有1環。對於環\(R\)的元素\(a\)，若有\(b\neq 0\)以及\(c\neq 0\)使得\(ab=0\)且\(ca=0\)，則說\(a\)是\(R\)的一個零因子。如果\(R\)不含非零的零因子，則稱\(R\)為無零因子環；如果\(R\)上的乘法滿足交換律，則說\(R\)是個交換環。有1的交換的無零因子環稱為整環。
整數環，實數環都是整環，但是，偶數環不是，它的乘法沒有單位元。
上述定義提到了“非零的零元素”，“非零”中的“零”指的是\((R,+)\)中的零元素，它與\(R\)中任意元素\(a\)相乘得到結果為\(0\)。證明如下：
\(0*a=(0+0)*a\)
\(0*a=0*a+0*a\)
\(0=0*a\)
需要指出的是，零元素不是零因子。
例如，所有2階方陣在矩陣加法和矩陣乘法下構成環零元素記為0。對於非零矩陣
\[m=\left[
\begin{matrix}
1 & 0 \ 0 & 0
\end{matrix}
\right]\]
存在矩陣
\[ a=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{matrix} \right], b=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{matrix} \right] \]
使得\(ma=bm=0\)，顯然\(m\)不是一個單位，並且是一個零因子。
設\(R\)是個有單位元\(1\)的環，\(R\)的元素\(a\)稱為\(R\)的一個單位，如果有\(b\in R\)使\(ab=ba=1\).
例如，整數環中元素1是一個單位。實數環所有非零元素都是單位。
抽象代數學習筆記（15）環